Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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• • • • CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN M ′ 3 D 1 j2 θ 3 D 1 j1 j3 s j2 s j1 D i F 1 j2 F 1 j1 j1 M 3 s j3 j2 j1 M3 s j3 j2 FIGURE 2.10 – Solutions entrantes sur l’interface (gauche) et sur la cellule (droite) pour le cas une cible implicite tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 de paramétrisation des segments s j , donné par (2.24), implique que les sommets de chaque segment sont ordonnés : s j = [p j ,q j ]. Dans la suite, les calculs sont détaillés pour le cas une cible implicite. Les autres cas (une cible explicite, deux cibles implicite, deux cibles explicite) sont détaillés dans l’appendice 1. Cas une cible (implicite) : • la solutionu n i (x,y) est connue dans la celluleT i au tempst n ainsi que les solutionsv n+1 2 j1 (t,ω) et v n+1 2 j2 (t,ω) sur les interfaces I n+1 2 j1 et I n+1 2 j2 . • On définitθ 3 comme l’intersection entre la droite caractéristique issue du nœudj3 et de l’interface I n+1 2 j3 . Puis, M 3 est défini comme la projection de θ 3 sur s n j3 et M′ 3 est sa projection sur s n+1 j3 (voir figure 2.10). • Pour définir la solution exacte sur la cellule T i au temps t n+1 , on introduit les domaines D et F représentés sur la figure 2.10. Avec ces notations, la solution exacte cherchée est donnée par : ⎧ ⎨ u h i(x,y,t n+1 v n+1 2 j1 (t 1 (x,y),ω 1 (x,y)), ) = ⎩v n+1 2 j2 (t 2 (x,y),ω 2 (x,y)), 50 si (x,y) ∈ F 1 j1 si (x,y) ∈ F 1 j2 (2.26)
2.4. Méthode de projection GRP espace-temps transport 2D où t 1 ,ω 1 ,t 2 et ω 2 sont les changements de variables suivants : ω 1 (x,y) = Ω x(y −y pj1 −aΩ y (t n +∆t))−Ω y (x−x pj1 −aΩ x (t n +∆t)) , Ω x (y qj1 −y pj1 )−Ω y (x qj1 −x pj1 ) ⎧ ⎨x pj1 +ω 1 (x,y)(x qj1 −x pj1 )−x aΩ t 1 (x,y) = x +t n +∆t, si Ω x ≠ 0, ⎩ +t n +∆t, sinon, y pj1 +ω 1 (x,y)(y qj1 −y pj1 )−y aΩ y ω 2 (x,y) = Ω x(y −y pj2 −aΩ y (t n +∆t))−Ω y (x−x pj2 −aΩ x (t n +∆t)) , Ω x (y qj2 −y pj2 )−Ω y (x qj2 −x pj2 ) ⎧ ⎨x pj2 +ω 2 (x,y)(x qj2 −x pj2 )−x aΩ t 2 (x,y) = x +t n +∆t, si Ω x ≠ 0, ⎩ +t n +∆t, sinon. y pj2 +ω 2 (x,y)(y qj2 −y pj2 )−y aΩ y tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 • La solution temporelle exacte sur l’interface I n+1 2 j3 est donnée par : ⎧ u ⎪⎨ n i (x 1(t,ω),y 1 (t,ω)), si (t,ω) ∈ D i , v n+1 2 h (t,ω j3 ) = v n+1 2 j1 (t 3 (t,ω),ω 3 (t,ω)), si (t,ω) ∈ Dj1 1 ⎪⎩ , (2.27) v n+1 2 j2 (t 4 (t,ω),ω 4 (t,ω)), si (t,ω) ∈ Dj2 1 , avec : x 1 (t,ω) = x pj3 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x (t−t n ), y 1 (t,ω) = y pj3 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y (t−t n ), t 3 (t,ω) = c1 3 (y p j1 −y qj1 )+c 2 3 (x q j1 −x pj1 ) d 3 , ω 3 (t,ω) = ac2 3 Ω x −ac 1 3 Ω y d 3 , c 1 3 = x pj3 −x pj1 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x t, c 2 3 = y p j3 −y pj1 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y t, d 3 = aΩ x (y qj1 −y pj1 )−aΩ y (x qj1 −x pj1 ), t 4 (t,ω) = c1 4 (y p j2 −y qj2 )+c 2 4 (x q j2 −x pj2 ) d 4 , ω 4 (t,ω) = ac2 4 Ω x −ac 1 4 Ω y d 4 , c 1 4 = x p j3 −x pj2 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x t, c 2 4 = y pj3 −y pj2 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y t, d 4 = aΩ x (y qj2 −y pj2 )−aΩ y (x qj2 −x pj2 ). Une fois que l’on a fait évolué de manière exacte les approximations polynomiales de la solution, on les projette dans leurs espace de polynômes respectifs. Étape de projection : Les solutions exactes (2.26)-(2.27) sont maintenant projetées sur l’espace d’approximation P k : dans la cellule T i au temps t n+1 , la fonction u h i est projetée sur Pk C et sur les interfaces I n+1 2 j , la fonction v n+1 2 h est projetée sur P k I . Pour le cas une cible implicite, cette projection se traduit par deux problèmes de minimisation suivants : ‖u n+1 i −u h i (tn +∆t)‖ i = inf ‖p−u h p∈P k i (tn +∆t)‖ i , (2.28) C ‖v n+1 2 j3 −v n+1 2 h (ω j3 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2 q∈P k h (ω j3 )‖ n . (2.29) I 51
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