Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
Sur cet espace, on définit le produit scalaire sur l’interface I n+1 2
j
par :
< f,g > n = 1 ∆t
∫ t n+1
t n ∫ 1
0
f(t,ω)g(t,ω) dω dt.
Comme dans le cas unidimensionnel, les bases définies ci-dessus ont été choisies afin de faciliter
les calculs. D’autres bases, comme la base des polynômes de Legendre par exemple, peuvent être
adoptées.
Le schéma consiste alors à faire évoluer de manière exacte l’approximation spatiale d’ordre élevé
de la solution ainsi que son approximation temporelle qui sera toujours utilisée ici comme un outil
pour l’élaboration du schéma. Finalement, il suffira de reprojeter ces approximations de la solution
sur leurs espaces respectifs pour caractériser entièrement la solution.
Approximations considérées : Sur chaque triangle du maillage, on suppose que la donnée
initiale est une approximation polynomiale de degré k de la solution exacte :
pour (x,y) ∈ T i , u 0 (x,y) ≃ u 0 i(x,y) ∈ P k C.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Puis, sur le bordΓdu domaine, on se donne une approximation temporelle auxiliaire polynomiale
de degré k de la donnée u B pour les interfaces “rentrantes” :
pour t ∈ [t n ;t n+1 ],(x,y) ∈ s Γ j tel que −→ Ω ·−→ n Γ j < 0, u B(x,y,t) ≃ v n+1 2
j Γ (t,ω(x,y)) ∈ P k I .
Dans la suite, on notera s Γ j les interfaces “rentrantes”, c’est-à-dire où la solution est donnée.
Une fois que les notations sont introduites, on procède à l’étape d’évolution.
Étape d’évolution : À cette étape, on suppose donc que l’on doit résoudre le problème mixte
suivant :
⎧
⎪⎨ ∂ t u(x,t)+aΩ.∇ ⃗ x u(x,t) = 0,
u(x,t = t
⎪⎩
n ) = u n (x),
(2.25)
v j Γ(t) = u B (x,t) si x ∈ s Γ j .
On fait évoluer de manière exacte l’approximation u n (x,y) ainsi que l’approximation temporelle
v j (t) de la solution. Grâce à la linéarité de l’équation dans (2.25), la solution exacte peut être
calculée analytiquement par la méthode des caractéristiques. On se place dans le triangleT i formé
des segmentss j1 ,s j2 ets j3 . On suppose que la direction du flux ⃗ Ω est comprise entre les directions
de deux segments s j1 et s j2 de ce triangle. Ainsi, en fonction du sens du flux, on obtient les deux
configurations suivantes (voir Figure 2.8) :
• cas une cible : le flux entre dans la cellule entre les segments s j1 et s j2 ,
• cas deux cibles : le flux entre dans la cellule par le troisième segment s j3 .
Puis dans chaque cas, deux sous-cas doivent être considérés (voir figure 2.9) :
• cas explicite : des droites caractéristiques provenant de la cellule T i au temps t n croisent la
cellule T i au temps t n+1 ,
• cas implicite : toutes les droites caractéristiques provenant de la cellule T i au temps t n
croisent une interface en premier.
Il est important de noter qu’en fonction de la taille des cellules, on peut avoir des cas implicites et
explicites au cours d’un même pas de temps. Ceci marque une différence notable en comparaison
du cas unidimensionnel présenté ci-dessus pour des maillages uniformes.
Par convention, on notera s n j le jème segment au temps t n et s n+1
j
le jème segment au temps t n+1
(voir figure 2.9). L’interface rectangulaire délimitée par s j et (t n ,t n+1 ) est notée I n+1 2
j
. Le choix
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