Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.4. Méthode de projection GRP espace-temps transport 2D
on peut difficilement considérer k supérieur à 15 − 20. Pour de tels cas, une possibilité serait de
considérer des bases de polynômes orthogonaux afin de forcer un meilleur conditionnement des
matrices à inverser.
2.4 Méthode de projection GRP espace-temps pour l’équation de transport
en dimension 2
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Dans ce paragraphe, on introduit une extension en dimension deux du schéma GRP espacetemps
présenté précédemment en dimension un. Grâce au choix d’approximation de la solution et
au caractère compact du schéma, on présente directement l’extension en deux dimensions sur des
maillages non-structurés. On considère toujours le problème mixte suivant :
⎧
⎪⎨ ∂ t u(x,t)+aΩ.∇ ⃗ x u(x,t) = 0, ∀x ∈ D,t ≥ 0,
u(x,t = 0) = u 0 (x), ∀x ∈ D,
⎪⎩
u x∈Γ (t) = u B (x,t), Γ = {x ∈ ∇D, −→ (2.23)
Ω ·−→ n(x) < 0},
( )
où D ⊂ R 2 est un ouvert borné, a est la vitesse et Ω ⃗ Ωx
= est le vecteur direction normalisé.
Ω y
On suppose que la donnée sur le bord est rentrante, c’est-à-dire que −→ Ω ·−→ n < 0 sur Γ où −→ n est la
normale unitaire à∇D extérieure àD.
Le domaine est discrétisé par un maillage non-structuré composé de triangles. Pour simplifier
la présentation du schéma, on se place dans le cas de maillages triangulaires, mais tout type de
polygones peut être considéré. On suppose que le pas de temps est constant égal à ∆t. On note
(x i ,y i ) le centre de gravité du triangle T i et V i son aire. Les côtés du triangle T i sont les segments
s j . Le segment s j = [p j ,q j ], p j ∈ R 2 ,q j ∈ R 2 est paramétré par :
De plus, on notera s Γ j
M = (x,y) ∈ s j ⇔ ∃ω(x,y) ∈ [0,1]/M = p j +ω(x,y) −−→ p j q j . (2.24)
les segments sur le bord du domaine.
De la même manière qu’en dimension un, on définit les interfaces du maillage :I n+1 2
j
= (t n ,t n+1 )×s j .
Ainsi, on peut introduire l’ensemble des polynômes de degré k par cellule (triangle) :
P k C = {u ∈ L∞ (R 2 )/u Ti ∈ R k [X,Y]},
qui est engendré par la base :
{( ) p ( ) x−xi y q −yi
.
V i V i
}p+q=0,...,k
Sur cet espace, on considère le produit scalaire sur le triangle T i suivant :
< f,g > i = 1 V i
∫∫T i
f(x,y)g(x,y) dx dy.
Puis, on introduit également l’ensemble des polynômes par interface :
engendré par la base :
P k I = {u ∈ L ∞ (R 2 )/u
I
n+ 1 2
j
⎧
⎨
⎩
(
t−t n+1 2
∆t
∈ R k [X,Y]},
) ⎫
l
⎬
ω m ,
⎭
l+m=0,...,k
47