Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
1.5
1
’k=1’
’k=5’
’k=7’
’k=11’
’exact’
1.5
1
’k=1’
’k=5’
’k=7’
’k=9’
’exact’
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
-1
-1
-1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
FIGURE 2.6 – Solutions àt = 1000 s avec λ = 10 (gauche) et λ = 50 (droite)
1.5
’k=13’
’exact’
1.5
’k=13’
’exact’
1
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-0.5
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
-1
-1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
FIGURE 2.7 – Solutions àt = 15000 s avec λ = 5 (gauche) et λ = 20 (droite)
la méthode WENO est largement plus coûteuse.
On s’intéresse à présent uniquement aux résultats de la méthode GRP espace-temps pour vérifier
son comportement en temps très long avec de grands pas de temps. Le premier cas-test illustre
l’impact du degré d’approximation k des polynômes en temps long, et le second cas-test montre
quelques résultats en temps très long.
Sur la figure 2.6, on compare les solutions approchées pour différentes valeurs dek après un temps
t = 1000 s pour une CFL égale à10 et 50.
Quand k devient grand, en plus d’améliorer la qualité des résultats, on voit que les oscillations
se concentrent autour des discontinuités et que leur amplitude diminue. Ainsi, en choisissant k de
plus en plus grand, on peut obtenir une approximation de la solution exacte aussi proche que l’on
veut.
Le schéma est maintenant testé pour un temps extrêmement long t = 15000 s. La figure 2.7
montre les solutions obtenues avec k = 13 pour λ = 5 et λ = 20.
En dépit de la difficulté de ce cas-test (seulement 100 mailles et un temps extrêmement long), les
approximations sont très proches de la solution exacte. De plus, le temps de calcul pour un tel
cas-test reste raisonnable. Avec λ = 5, on observe un rapport de temps de 8.3 entre k = 13 et
k = 3, de 12.8 entre k = 13 et k = 2 et de 20 entre k = 13 et k = 1.
Si l’on veut un temps extrêmement long et une CFL très grande, on peut éventuellement considérer
un degré k très grand. Cependant, comme le conditionnement des matrices augmente avec
k, l’erreur d’approximation numérique devient très importante quandkest très grand. En pratique,
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