Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.3. Méthode de projection GRP espace-temps transport 1D
TABLE 2.2 – Comparaison de la convergence des trois méthodes d’ordre 3
# mailles WENO DG GRP espace-temps ordre
32 3.158.10 −1 1.143.10 −4 1.531.10 −5
64 1.078.10 −1 1.411.10 −5 1.914.10 −6 3.00002
128 2.405.10 −2 1.757.10 −6 2.394.10 −7 2.99954
256 3.148.10 −3 2.194.10 −7 2.992.10 −8 2.99991
512 1.906.10 −4
1.5
1
’GRP’
’DG’
’WENO’
’exact’
0.5
0
-0.5
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
-1
-1.5
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
FIGURE 2.5 – Comparaison des trois méthodes àt = 1000 s
considère les mêmes conditions initiales que pour le test de convergence mais en imposant cette
fois λ = 0.2 pour prendre en compte la CFL plus restrictive de la méthode DG. Pour 256 points
par exemple, les solutions sont obtenues au bout de 8665 itérations.
Avec les trois méthodes, on retrouve bien les ordres d’approximation théoriques. Cependant, on
observe que les erreurs données par la méthode WENO sont très grandes par rapport aux autres
méthodes. En pratique, cela signifie qu’il faudrait 10 fois plus de mailles pour obtenir la même
précision. Les schémas GRP et DG ont des erreurs comparables, mais les méthodes DG ont une
condition CFL de plus en plus restrictive quand l’ordre d’approximation augmente, alors que le
schéma GRP espace-temps n’a pas de restriction sur le pas de temps.
Solution discontinue
On considère à présent une donnée initiale constante par morceaux :
{
1 si 0.4 < x < 0.6,
u 0 (x) =
−1 sinon,
sur le domaine [0,1]. Les solutions présentées sur les graphes 2.5,2.6 et 2.7 ont été obtenues avec
100 mailles.
Le premier cas-test est une comparaison entre les trois méthodes explicites d’ordre 3 : GRP espacetemps,
WENO et DG en temps long. Sur la figure 2.5, les solutions sont obtenues avec λ = 0.2
au bout d’un temps t = 1000 s, soit 672775 itérations. Après un temps très long, la solution
approchée donnée par le schéma WENO est totalement écrasée. Par ailleurs, les approximations
données par les méthodes GRP espace-temps et DG sont proches de la solution exacte. Concernant
le temps CPU, les schémas DG et GRP espace-temps ont un coût de calcul comparable alors que
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