Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
TABLE 2.1 – Tableaux de convergence pour le schéma explicite (gauche) et le schéma implicite
(droite)
k # mailles erreur L 2 ordre
1 64 2.501.10 −3
128 3.633.10 −4 2.783
256 5.798.10 −5 2.648
3 64 1.613.10 −8
128 1.008.10 −9 4.000
256 6.300.10 −11 4.000
5 64 7.718.10 −13
128 1.205.10 −14 6.001
256 1.883.10 −16 6.000
k # mailles erreur L 2 ordre
1 64 3.388.10 −1
128 5.452.10 −2 2.635
256 7.296.10 −3 2.902
3 64 4.748.10 −5
128 2.880.10 −6 4.043
256 1.570.10 −7 4.197
5 64 1.875.10 −7
128 2.958.10 −9 5.986
256 4.947.10 −11 5.902
Le schéma est donc d’ordrek+1 en espace et en temps à la fois pour le cas explicite et pour le
cas implicite. De plus, il est très compact. C’est un atout qui va simplifier l’implémentation ainsi
que l’extension en dimension deux d’espace sur des maillages non structurés.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Afin d’illustrer la méthode, quelques résultats numériques de convergence sont présentés dans
le paragraphe suivant. Les résultats sont comparés avec les schémas DG et WENO, dont le principe
est rappelé dans le paragraphe 2.6. D’autres cas-tests sont également présentés dans le paragraphe
5.1.1, comme pour l’approximation des équations de Maxwell linéarisées ou encore du modèle
d’ordonnées discrètes du transfert radiatif.
2.3.1 Résultats numériques en dimension 1
Tous les cas-tests présentés dans ce paragraphe ont été réalisés avec a = e 2
sur un maillage
uniforme avec des conditions aux limites périodiques.
Convergence pour les solutions régulières
Dans un premier temps, on considère une solution initiale régulière pour vérifier numériquement
l’ordre du schéma :
u 0 (x) = sin(πx) pour x ∈ [−1,1].
Le tableau 2.1 montre l’erreur en normeL 2 commise entre la solution exacte et la solution donnée
par le schéma explicite (avec une CFLλ = 0.5) et le schéma implicite (avec une CFLλ = 10) au
bout d’un tempst = 10s. On rappelle quec∆t = λ∆x, ce qui implique que l’ordre de la méthode
en temps est le même que l’ordre en espace. On voit que les ordres numériques correspondent bien
aux ordres théoriques. De plus, les erreurs en norme L 2 sont très petites. Pour comparaison, avec
256 points, il faut 3466 itérations avecλ = 0.5 et 174 itérations avecλ = 10. En pratique, pour le
schéma explicite, le code a été exécuté en quadruple précision car l’erreur commise était inférieure
à l’erreur machine de la double précision. Les erreurs commises avec le schéma implicite, bien que
toujours petites, restent supérieures au cas explicite.
On compare ensuite le schéma GRP espace-temps avec les schémas de type WENO et Galerkin
Discontinu (DG) présentés plus tard dans les paragraphes 2.6.2 et 2.6.3. Dans le tableau 2.2, on
compare les erreurs en norme L 2 de ces trois méthodes et pour trois ordres d’approximation. On
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