Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
Par conséquent :
u h i(x,t n +∆t) =
{
u
n
i−1 (x−a∆t), si (x−x i−
1) < a∆t,
2
u n i (x−a∆t), sinon, = u h i(x−a∆t,t n ).
Comme u h i (tn ) ∈ R k [X], on a u h i (tn +∆t) ∈ R k [X] et la projection sur l’espace P k C
une fois exacte :
est encore
u n+1
i
(x) = u h i(x,t n +∆t) = u n (x−a∆t) Ci
.
À la fin de l’itération, la solution est donnée par u n+1 (x) = u n (x − a∆t) = u 0 (x − at n+1 ) si
x − at n+1 > 0, u n+1 (x) = u L (t n+1 − x a
) sinon. Le schéma explicite préserve bien la solution
exacte si la donnée initiale u 0 ∈ R k [X].
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
On s’intéresse à présent au cas implicite (λ > 1), toujours avec une vitesse a > 0. Au temps
t = 0, la donnée initiale u 0 (x) et la solution sur la frontière de gauche u L (t) sont supposées
polynomiales de degré k : u 0 (x) ∈ R k [X] et u L (t) ∈ R k [X].
Au temps t = t n , la solution u n (x) donnée par le schéma est supposée exacte : u n (x) = u 0 (x−
at n ) ∈ R k [X] si x−at n+1 > 0, u n (x) = u L (t n+1 − x a sinon.
On veut alors montrer que cette solution exacte est préservée par le schéma au tempst = t n +∆t.
Dans chaque cellule C i du domaine, au temps t = t n , on a u n i (x) = un (x) Ci
∈ R k [X] la
projection de u n (x) sur l’espace P k C . Comme un (x) est polynomiale de degré k, la projection
de {u n i (x)} i∈Z sur l’espace P k C
conserve ce polynôme. On le réécrit simplement dans la base
correspondante. Sur la frontière gauche, on connait la solution exacte v n+1 2
1 (t) = u L (t)
2 I
n+ 1 .
2
On se place sur le premier volume K n+1 2
1 .
Étape d’évolution : La solution exacte sur la cellule C 1 est :
u h 1(x,t n +∆t) = v n+1 2
1
2
( ) ( )
t n+1 − x−x1 2
= u L t n+1 − x−x1 2
a a
et sur l’interface x3 , la solution temporelle auxiliaire est donnée par :
2
⎧
v n+1 2
h
(t,x3) =
2
⎨u n 1 (x3 −a(t−t n )), si (t−t n ) < ∆x
2
( )
⎩v n+1 2 t−
∆x
a , sinon.
1
2
a ,
I n+1 2
,
Étape de projection : Les solutions exactes sont projetées sur leurs espaces polynomiaux respectifs.
Sur la cellule C 1 , commev n+1 2
1 (t) ∈ R k [X], la projection sur P k C
est exacte :
2
u n+1
1 (x) = u h 1 (x,tn +∆t) = u L
(
t n+1 − x−x1 2
a
En conséquence, la solution sur le bord gauche est :
⎧
( ) ⎪⎨ v n−1 2
v n+1 1 t−
∆x
a , si (t−t n ) < ∆x
a ,
2(t,x3
h
) =
2
( )
2 ⎪⎩ v n+1 2 t−
∆x
a , sinon,
=
1
2
)
.
{
uL (t− ∆x
a ) I n−1 2 , si (t−tn ) < ∆x
a ,
u L (t− ∆x
a ) I n+1 2 , sinon.
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