Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.3. Méthode de projection GRP espace-temps transport 1D
Théorème 2.1. Le schéma est conservatif pour le premier momentα n,0 . Si la donnée initialeu 0 (x)
pourx ∈ R est un polynôme de degréketu L (t) = u 0 (−at), alors le schéma préserve exactement
les polynômes de degré k.
Remarquons que ce schéma est conservatif uniquement pour le premier moment. En conséquence,
s’il est utilisé dans un contexte de volumes finis, les moments d’ordre plus élevé doivent
être interprétés comme des termes correctifs.
Démonstration. Par définition du schéma, il vient :
∑
∫
α n+1,0
i
= u h (x,t n+1 )dx,
i
R
∫
=
Ru h (x−a∆t,t n )dx = ∑ i
α n,0
i
.
Le schéma est donc conservatif pour le premier momentα n,0 .
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
À présent, on établit la précision de la méthode. Pour simplifier les calculs, la vitesse a est
supposée positive. La preuve sera faite par récurrence.
Tout d’abord, on considère le schéma explicite (λ < 1). Au temps t = 0, on suppose que la
solution initiale est polynomiale : u 0 (x) ∈ R k [X].
Au temps t = t n , la solution donnée par le schéma est supposée exacte : u n (x) = u 0 (x−at n ) si
x−at n > 0, u n (x) = u L (t− x a ) sinon. Donc en particulier, un (x) ∈ R k [X].
Pour que le schéma soit d’ordre k + 1, il faut donc montrer que la solution exacte est préservée
par le schéma au temps t = t n +∆t.
Dans chaque cellule C i du domaine au temps t = t n , on a u n i (x) = un (x) Ci
∈ R k [X]. Ainsi,
la projection de u n (x) dans l’espace d’approximation P k C
conserve cette solution polynomiale
u n (x).
Étape d’évolution : Cette étape consiste à faire évoluer de manière exacte la solution. Sur le volume
Ki n , en remontant les courbes caractéristiques, on remarque que la solution temporelle exacte sur
le bord gauche I n+1 2 ×x i−
1 est :
2
v n+1 2
h
(t,x i−
1 = u
2) n i−1 (x i− 1 −a(t−t n )) ∈ R k [X],
2
et sur le bord droit I n+1 2 ×x i+
1 :
2
v n+1 2
h
(t,x i+
1
2
) = u n i (x i+
1 −a(t−t n )) ∈ R k [X].
2
La solution exacte dans la cellule C i est :
⎧ ( )
⎨
u h v n+1 2
t n+1 − x−x i−
i (x,tn +∆t) = i− 1 2
1
a
, si (x−x i−
1) < a∆t,
2
2
⎩
u n i (x−a∆t),
sinon.
Étape de projection : Les solutions exactes sont projetées dans les espaces correspondants P k . Sur
le bord gauche, commev n+1 2
h
(x i−
1
2
temporelle sur l’interface I n+1 2 ×x i−
1
2
v n+1 2(t) = v n+1 i− 1 2
2
) ∈ R k [X], la projection sur l’espaceP k I
est exacte. La solution
est donc la solution exacte :
h
(t,x i−
1
2
) = u n i−1(x i−
1 −a(t−t n )).
2
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