Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
À la fin de l’itération, les deux approximations u n+1 (x) et v n+1 2(t) de la solution de (2.12)
sont par construction dans leurs espaces respectifs P k C et Pk I .
On note également que les matrices A u et A v des systèmes (2.21)-(2.22) sont égales dans
ce cas particulier de maillages uniformes et ne dépendent ni du temps, ni de l’espace. Une
seule matrice peut donc être calculée et inversée une fois au début de l’algorithme.
Pour illustrer ce schéma, quelques exemples sont détaillés ci-dessous.
Exemple dans le cas a > 0
Projection P 0 : k = 0. Au temps t n , la solution u n (x) est connue sur toutes les cellules C i et
la solution temporelle v1(t) est connue sur la frontière gauche du domaine :
2
u n i (x) = α n i ∈ R,
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
v n+1 2
1
2
(t) = β n+1 2
1
2
En parcourant le maillage de la gauche vers la droite, sur le volume de contrôle Ki n , les schémas
correspondants s’écrivent alors :
⎧
⎪⎨ v n+1 2
= α n i+
Explicite (λ ≤ 1) :
1 i ,
2
⎪⎩ u n+1
i
= λβ n+1 2
+(1−λ)α n i− 1 i ,
2
⎧
⎪⎨ u n+1
i
= β n+1 2,
i−
Implicite(λ > 1) :
1 2
⎪⎩ v n+1 2
= 1 i+ 1 λ αn i +(1− 1 λ )βn+1 2.
i− 1 2
2
On remarque que le schéma explicite pour une approximation constante par morceaux est exactement
le schéma décentré amont.
Projection P 1 : k = 1. Au temps t n , la solution u n (x) est connue sur toutes les cellules C i et
la solution temporelle v1(t) est connue sur la frontière gauche du domaine :
2
u n i (x) = α n,0
i
+α n,1
i
x,
v n+1 2
1
2
(t) = β n+1 2 ,0
1
2
∈ R.
+β n+1 2 ,1
1
2
En parcourant le maillage de la gauche vers la droite, le schéma explicite correspondant s’écrit
alors :
⎧
α n+1,0
i
= α n,0
i
(1−λ)− λ 2 (1−λ)αn,1 i
+λβ n+1 2 ,0
,
⎪ ⎨
⎪ ⎩
α n+1,1
i
= 6λ(1−λ)[α n,0
β n+1 2 ,0
i+ 1 2
β n+1 2 ,1
i+ 1 2
= α n,0
i
+ 1−λ
2 αn,1 i
,
= −λα n,0
i
.
i
−β n+1 2 ,0
i− 1 2
i− 1 2
t.
]+(1−λ)(1−2λ−2λ 2 )α n,1
i
−λ 2 β n+1 2 ,1
,
Ce schéma est équivalent au schéma développé par Dai and Woodward dans [37]. Cependant leur
schéma, basé sur la conservation des moments pour les équations non-linéaires, est défini uniquement
dans le cas explicite.
i− 1 2
Ce schéma est ainsi facile à écrire et facile à implémenter. De plus, on peut prouver qu’il est
conservatif et d’ordre k +1 en temps et en espace.
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