Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
parties successives :
[ (−1
Jex 1 (j,l) = 1 ) j (
λ− 1 l+1 ( ) 1 j ( ) ]
−1
l+1
− +
l +1 2 2)
2 2
[ (1
Jex 2 (j,l) = 1 ) l+1 ( ) 1 j
−(
l +1 2 2 −λ λ− 1 ) l+1 ( ) ]
−1
j
2 2
[ (1
K ex (s,r) = 1 ) s ( ) 1 r+1 ( ) 1 s ( ) ]
−1
r+1
r +1 2 −λ −
2 2 2
j
λ(l +1) J1 ex (j −1,l +1),
− j
l+1 J2 ex (j −1,l +1),
+ sλ
r +1 K ex(s−1,r +1).
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Dans le cas implicite (λ > 1), les seconds membres s’écrivent :
( ) l
< u h i(t n x−xi
+∆t), > i =
∆x
< v n+1 2
h
(x i+
1
2
),
=
k∑
β n+1 2 ,j
i− 1 2
j=0
k∑
j=0
=b + u(l),
( ) r
t−t n+1 2
k∑
> n =
i
∆t
+
=
s=0
k∑
s=0
k∑
s=0
1
∆x
⎛
∫ xi+ 1
2
x i−
1
2
β n+1 2 ,j
J
i− 1 im (j,l),
2
α n,s
1
∆t
β n+1 2 ,s
i− 1 2
α n,s
=b + v (r),
∫ t n + ∆x
a
t n (
xi+ 1
2
1
∆t
∫ t n+1
t n + ∆x
a
⎝ tn+1 − x−x i− 1 2
a
−t n+1 2
∆t
−a(t−t n )−x i
∆x
(
t−
∆x
a −tn+1 2
∆t
i
Kim 1 (s,r)+βn+1 2 ,s
Kim 2 (s,r),
i− 1 2
⎞
⎠j ( x−xi
∆x
) s (
t−t n+1 2
) s (
t−t n+1 2
∆t
∆t
) r
dt,
où les coefficients J im ,Kim 1 et K2 im peuvent également être calculés récursivement :
[ (1
J im (j,l) = 1
l +1 2 λ) − 1 j ( ) 1 l+1 ( ) 1 j ( ) ]
−1
l+1
j
− +
2 2 2 λ(l+1) J im(j −1,l +1),
[ (−1
Kim(s,r) 1 = 1 ) s ( 1
r +1 2 λ − 1 ) r+1 ( ) 1 s ( ) ]
−1
r+1
− + sλ
2 2 2 r +1 K1 im(s−1,r +1),
[ (1
Kim(s,r) 2 = 1
r +1 2 λ) − 1 s ( ) 1 r+1 ( ) −1 s ( ]
1
−
2 2 λ 2) − 1 r+1
+ s
r+1 K2 im(s−1,r +1).
) l
dx,
) r
dt,
Afin de présenter complètement la méthode, notons que si a < 0, les solutions exactes dans le cas
explicite (λ < 1) sont données par :
( ) l
< u h x−xi
i (tn +∆t), > i =
∆x
< v n+1 2
h
(x i−
1
2
),
(
t−t n+1 2
∆t
k∑
j=0
=b − u(l),
) r k∑
> n =
s=0
=b − v (r),
β n+1 2 ,j
J
i+ 1 ex 1,− (j,l)+αn,j i
Jex 2,− (j,l),
2
α n,s
i
K − ex(s,r),
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