Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.3. Méthode de projection GRP espace-temps transport 1D
t = t n+1
t
v n+1 2
i− 1 2
( )
t n+1 − x−x i−
2
1
a
u n i (x−a∆t)
v n+1 2
i− 1 2
t = t n
(t) u n i (x i+ 1 2
−a(t−t n ))
x i−
1
2
x−x i− 1
2
t−t n = a
x i+
1
2
x
FIGURE 2.3 – Solutions exactes dans le volume K n i pour le cas explicite
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
t = t n+1
t
v n+1 2(t)
i− 1 2
t = t n
x i−
1
2
v n+1 2
i− 1 2
( )
t n+1 − x−x i− 1 2
a
x−x i−
1
2
t−t n = a
x i+
1
2
v n+1 2
i− 1 2
( )
t−
∆x
a
u n i (x i+ 1 2
−a(t−t n ))
FIGURE 2.4 – Solutions exactes dans le volume K n i pour le cas implicite
x
La principale différence avec le schéma GRP présenté dans la section (2.2) est la double approximation
de la solution : une en espace sur les cellules et une en temps sur les interfaces. On insiste
ici sur le fait que la solution temporelle est utilisée comme un outil simplifiant la présentation du
schéma. Dans le cas a > 0, la solution u n+1
i
au temps t = t n+1 sur la cellule C i et la solution
auxiliaire v n+1 2
i+ 1 2
de u n i et v n+1 2
i− 1 2
t = t n+1 sur C i et v n+1 2
i− 1 2
sur l’interface I n+1 2 en x = x i+
1
2
sont entièrement déterminées par la donnée
(voir figures 2.3-2.4). Notons que dans le cas a < 0, la solution u n+1
i
sur l’interface I n+1 2 en x = x i−
1
2
au temps
sont entièrement déterminées par la
donnée de u n i et vn+1 2
.
i+ 1 2
Il en résulte que les informations nécessaires au calcul de la solution au temps t = t n+1 sont
entièrement contenues dans un seul volume de contrôle. Le schéma obtenu sera donc compact. De
plus, grâce à la linéarité de l’équation (2.12), les solutions exactes au tempst n +∆t sont facilement
déterminées par une méthode des caractéristiques.
Dans le casa > 0 et λ = a∆t
∆x
< 1 (cas explicite), la solution exacte du problème (2.14) sur la
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