Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
Comme dans le schéma GRP, le schéma consiste à profiter de la linéarité de l’équation pour
introduire une étape d’évolution exacte. La différence provient de l’introduction d’une approximation
auxiliaire polynomiale en temps de la solution. Cette approximation, notée v(t), sera utilisée
comme un outil pour simplifier la présentation de ce schéma.
Le schéma se composera des étapes suivantes, qui seront détaillées dans la suite :
• Au temps initial, on suppose connue une approximation polynomiale en espace u 0 i (x) de
la solution sur chaque cellule C i . On suppose également connue une seconde approximation
auxiliaire polynomiale en temps v1(t) de la donnée u L (t) solution sur la frontière du
2
domaine correspondante.
• Au cours d’une itération, le maillage est parcouru de la gauche vers la droite aveca > 0 (de
la droite vers la gauche sinon).
• Dans chaque volume de contrôle Ki n , en supposant a > 0, on calcule l’approximation
(x) pour x ∈ C i ainsi que l’approximation auxiliaire sur le bord droit du volume de
u n+1
i
(t) pour t ∈ I n+1 2 à partir des solutions u n i (x) pour x ∈ C i et v i−
1(t) sur le
2
contrôle v i+
1
2
bord gauche deKi n pour t ∈ I n+1 2 .
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Approximations considérées et notations : On suppose toujours connue une approximation
polynomiale en espace de degré k de la solution :
pour t = t n ,u(x,t n ) ≃ u n i (x) ∈ R k [X] si x ∈ C i .
On introduit une seconde approximation temporelle auxiliaire de la solution qui sera utilisée
comme un outil dans la construction du schéma d’ordre élevé en temps. Ainsi, on définit :
pour t ∈ I n+1 2 = [t n ;t n +∆t],u(x i−
1,t) ≃ v n+1 2(t) ∈ R
2 i− 1 k [X]. (2.13)
2
On note alors l’espace des fonctions polynomiales par interface :
P k I = {v ∈ L ∞ (R)/v I
n+ 1 2 ∈ R k[X],∀n ∈ N}.
Puis, sur chaque interface I n+1 2 , on munit R k [X] de la base :
{(
t−t n+1 2
∆t
) r }
r=0,...,k
,
sachant que d’autres bases peuvent être choisies afin de s’adapter au cas considéré. On introduit
également le produit scalaire associé à l’interface I n+1 2 défini par :
< f,g > n = 1 ∆t
∫ t n+1
t n
f(t)g(t) dt.
Une fois ces notations établies, on fait évoluer la solution approchée u n i (x) ainsi que l’approximation
temporelle v n+1 2(t) de manière exacte pour obtenir une approximation de la solution au
i− 1 2
temps t n +∆t.
Étape d’évolution : À cette étape, on suppose donc que l’on doit résoudre le problème mixte
suivant : ⎧
⎪⎨ ∂ t u+a∂ x u = 0,
⎪ ⎩
u(x,t n ) = u n (x),
u(0,t) = u L (t).
(2.14)
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