Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.3. Méthode de projection GRP espace-temps transport 1D
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où λ est donné par (2.7).
Finalement, à chaque itération, le schéma consiste à résoudre un système linéaire de taille k + 1
sur chaque celluleC i afin de déterminer l’approximation polynomiale par morceaux de la solution
au temps t n+1 :
Aα n+1
i
= b n+1
i
. (2.11)
On remarque que le choix du maillage uniforme permet d’obtenir une unique matrice A pour tout
le système. En effet, celle-ci ne dépend ni de la cellule ni du temps. Ainsi, elle ne sera calculée et
inversée qu’une seule fois pour tout le domaine et tous les pas de temps. Une deuxième remarque
concerne le choix de base de l’espace P k C
. La base utilisée ci-dessus a été choisie pour simplifier
les calculs. Cependant, d’autres bases polynomiales auraient pu être considérées comme les
polynômes de Legendre par exemple.
Pour les applications en temps très long considérées, l’objectif est de pouvoir considérer de très
grands pas de temps qui ne respectent pas (2.7). En partant de la même approximation, on pourrait
construire un schéma d’ordrek+1 sans aucune restriction CFL, donc pour toutλ > 1. Cependant,
en fonction du pas de temps, il faudrait élargir le stencil. Par exemple, en posant ∆t = λ a 103 ,
il faudrait aller chercher l’information sur les 10 3 cellules voisines au temps t n pour calculer la
solution exacte au tempst n+1 sur la cellule C i . Les conditions aux limites pourraient devenir plus
complexes à gérer, voire inabordables. En conséquence, le coût de calcul serait très largement
augmenté. De plus, l’extension directe de ce schéma en dimension deux sur des maillages nonstructurés
par exemple deviendrait très compliquée.
2.3 Méthode de projection GRP espace-temps pour l’équation de transport
en dimension 1
Le schéma GRP classique présenté dans la section précédente permet d’obtenir une approximation
d’ordre élevé de l’équation de transport, mais seulement en espace. Le but étant de capturer les
solutions en temps très long, il est préférable que le schéma soit aussi d’ordre élevé en temps. Les
méthodes de Runge-Kutta par exemple, donnent une approximation d’ordre élevé en temps, mais
en considérant de grands pas de temps, elles impliquent la résolution de systèmes non-linéaires de
taille croissante avec l’ordre d’approximation. On souhaite ici développer un schéma sans restriction
sur le pas de temps, qui soit d’ordre élevé en espace et en temps, tout en restant très compact
pour éviter la gestion de larges stencils. Pour cela, on va développer une extension du solveur GRP
qui n’impose plus de restriction sur le pas de temps.
Afin de simplifier la terminologie, on emploiera abusivement le terme implicite en référence
au cas λ = a ∆t
∆x
> 1, bien que le schéma soit différent des schémas implicites classiques qui font
intervenir la recherche des zéros d’une fonction. Parallèlement, on emploiera le terme explicite
pour se référer au cas λ ≤ 1.
On considère toujours le problème mixte pour l’équation d’advection :
⎧
⎪⎨ ∂ t u+a∂ x u = 0,
u(x,0) = u 0 (x),
⎪⎩
u(x = 0,t) = u L (t).
(2.12)
où a > 0.
Comme précédemment, le domaine est discrétisé par un maillage uniforme formé des cellules
C i = (x i−
1,x 2 i+
1) avec x
2 i+
1 − x
2 i−
1 = ∆x. On introduit en plus I n+1 2 = [t n ,t n+1 ] les interfaces
entre deux pas de temps. Les volumes de contrôle espace-temps sont ainsi délimités par :
2
Ki n = C i ×I n+1 2 .
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