Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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2.3. Méthode de projection GRP espace-temps transport 1D<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
où λ est donné par (2.7).<br />
Finalement, à chaque itération, le schéma consiste à résoudre un système linéaire de taille k + 1<br />
sur chaque celluleC i afin de déterminer l’approximation polynomiale par morceaux de la solution<br />
au temps t n+1 :<br />
Aα n+1<br />
i<br />
= b n+1<br />
i<br />
. (2.11)<br />
On remarque que le choix du maillage uniforme permet d’obtenir une unique matrice A <strong>pour</strong> tout<br />
le système. En effet, celle-ci ne dépend ni de la cellule ni du temps. Ainsi, elle ne sera calculée et<br />
inversée qu’une seule fois <strong>pour</strong> tout le domaine et tous les pas de temps. Une deuxième remarque<br />
concerne le choix de base de l’espace P k C<br />
. La base utilisée ci-<strong>des</strong>sus a été choisie <strong>pour</strong> simplifier<br />
les calculs. Cependant, d’autres bases polynomiales auraient pu être considérées comme les<br />
polynômes de Legendre par exemple.<br />
Pour les applications en temps très long considérées, l’objectif est de pouvoir considérer de très<br />
grands pas de temps qui ne respectent pas (2.7). En partant de la même approximation, on <strong>pour</strong>rait<br />
construire un schéma d’ordrek+1 sans aucune restriction CFL, donc <strong>pour</strong> toutλ > 1. Cependant,<br />
en fonction du pas de temps, il faudrait élargir le stencil. Par exemple, en posant ∆t = λ a 103 ,<br />
il faudrait aller chercher l’information sur les 10 3 cellules voisines au temps t n <strong>pour</strong> calculer la<br />
solution exacte au tempst n+1 sur la cellule C i . Les conditions aux limites <strong>pour</strong>raient devenir plus<br />
complexes à gérer, voire inabordables. En conséquence, le coût de calcul serait très largement<br />
augmenté. De plus, l’extension directe de ce schéma en dimension deux sur <strong>des</strong> maillages nonstructurés<br />
par exemple deviendrait très compliquée.<br />
2.3 Méthode de projection GRP espace-temps <strong>pour</strong> l’équation de transport<br />
en dimension 1<br />
Le schéma GRP classique présenté dans la section précédente permet d’obtenir une approximation<br />
d’ordre élevé de l’équation de transport, mais seulement en espace. Le but étant de capturer les<br />
solutions en temps très long, il est préférable que le schéma soit aussi d’ordre élevé en temps. Les<br />
métho<strong>des</strong> de Runge-Kutta par exemple, donnent une approximation d’ordre élevé en temps, mais<br />
en considérant de grands pas de temps, elles impliquent la résolution de <strong>systèmes</strong> non-linéaires de<br />
taille croissante <strong>avec</strong> l’ordre d’approximation. On souhaite ici développer un schéma sans restriction<br />
sur le pas de temps, qui soit d’ordre élevé en espace et en temps, tout en restant très compact<br />
<strong>pour</strong> éviter la gestion de larges stencils. Pour cela, on va développer une extension du solveur GRP<br />
qui n’impose plus de restriction sur le pas de temps.<br />
Afin de simplifier la terminologie, on emploiera abusivement le <strong>terme</strong> implicite en référence<br />
au cas λ = a ∆t<br />
∆x<br />
> 1, bien que le schéma soit différent <strong>des</strong> schémas implicites classiques qui font<br />
intervenir la recherche <strong>des</strong> zéros d’une fonction. Parallèlement, on emploiera le <strong>terme</strong> explicite<br />
<strong>pour</strong> se référer au cas λ ≤ 1.<br />
On considère toujours le problème mixte <strong>pour</strong> l’équation d’advection :<br />
⎧<br />
⎪⎨ ∂ t u+a∂ x u = 0,<br />
u(x,0) = u 0 (x),<br />
⎪⎩<br />
u(x = 0,t) = u L (t).<br />
(2.12)<br />
où a > 0.<br />
Comme précédemment, le domaine est discrétisé par un maillage uniforme formé <strong>des</strong> cellules<br />
C i = (x i−<br />
1,x 2 i+<br />
1) <strong>avec</strong> x<br />
2 i+<br />
1 − x<br />
2 i−<br />
1 = ∆x. On introduit en plus I n+1 2 = [t n ,t n+1 ] les interfaces<br />
entre deux pas de temps. Les volumes de contrôle espace-temps sont ainsi délimités par :<br />
2<br />
Ki n = C i ×I n+1 2 .<br />
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