Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
En remplaçant u n+1
i
par sa décomposition dans cette base de polynômes (2.6), l’étape de projection
revient à résoudre un système linéaire de taille k+1 :
∀l = 0,...,k,
k∑
j=0
α n+1,j
i
<
( ) j ( ) l ( ) l x−xi x−xi
, > i =< u h
∆x ∆x
i(t n x−xi
+∆t), > i ,
∆x
(2.10)
d’inconnues (α n+1,j
i
) k j=0 . On voit facilement que ce schéma est d’ordre k+1 en espace par construction.
À présent, une formulation plus explicite de ce schéma est exhibée. En effet, le membre de gauche
du système (2.10) peut se réécrire sous la forme d’un produit matrice-vecteur de la manière suivante
:
k∑
j=0
α n+1,j
i
<
( ) j ( ) l x−xi x−xi
, > i =
∆x ∆x
=
k∑
j=0
k∑
j=0
α n+1,j
i
α n+1,j
i
1
∆x
∫ xi+
( )
1 j+l
2 x−xi
dx,
x ∆x
i−
1
2
( (1 )
1 j+l+1
−
j +l+1 2
( ) )
−1
j+l+1
.
2
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
( (1
En posant A(j,l) = 1 ) j+l+1 (
j+l+1 2 − −1
) ) j+l+1
2
on a :
k∑
j=0
α n+1,j
i
<
( ) j ( ) l x−xi x−xi
, > i =
∆x ∆x
k∑
j=0
α n+1,j
i
A(j,l).
Le second membre du système (2.10) peut également se réécrire de la façon suivante :
< u h i (tn +∆t),
( ) l x−xi
> i =
∆x
+
=
k∑
α n,j
i−1
j=0
k∑
j=0
k∑
j=0
α n,j
i
=b n+1
i
(l).
1
∆x
1
∆x
∫ xi− 1
2
+a∆t
x i− 1
2
∫ xi+ 1
2
x i−
1
2
+a∆t
( x−a∆t−xi−1
∆x
( x−a∆t−xi
∆x
(
)
α n,j
i−1 I− i (j,l)+αn,j i
I
i + (j,l) ,
) j ( ) l x−xi
dx
∆x
) j ( ) l x−xi
dx,
∆x
Les coefficients Ii − (j,l) et I+ i
parties successives :
(j,l) peuvent être calculés récursivement à l’aide d’intégrations par
Ii − (j,l) = 1 ( ) 1 j+l+1[
(−1+2λ) l −(1−2λ) j+1] − l
j +1 2
j +1 I− i
( )
avec Ii − (j +l,0) = 1 1 j+l+1[
1−(1−2λ) j+l+1] ,
j +l+1 2
I + i (j,l) = 1
j +1
( 1
2
avec I + i (j +l,0) = 1
j +l+1
( 1
2
(j +1,l −1),
) j+l+1[
(1−2λ) j+1 −(−1+2λ) l] − l
j +1 I+ i
(j +1,l −1),
) j+l+1[
(1−2λ) j+l+1 −(−1) j+l+1] ,
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