Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.2. Introduction sur les méthodes de GRP
t
u n i−1 (x−a∆t) un i (x−a∆t)
u n i−1 (x)
x i−
1
2
un i (x)
x i+
1
2
x
t = t n+1
t = t n
x i−
3
2
x−x i− 1
2
t−t n = a
FIGURE 2.2 – Solution exacte obtenue par la méthode des caractéristiques avec a > 0
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
est connue, on fait évoluer de manière exacte la solution u n (x) pendant un pas de temps ∆t.
Pour le moment, on suppose que les courbes caractéristiques issues de x i−
1 ne peut pas parcourir
2
plus d’une cellule au cours d’un pas de temps ∆t. En conséquence, on impose la condition CFL
suivante :
λ = a ∆t < 1. (2.7)
∆x
Notons dès à présent que l’on montrera plus tard comment s’affranchir simplement de cette restriction.
Pour faire évoluer la solution de manière exacte, on utilise la méthode des caractéristiques. Alors
que cette étape peut s’avérer inenvisageable dans le cas d’équations non linéaires, la linéarité de
l’équation (2.3) permet ici de calculer facilement la solution exacte u h au temps t + ∆t pour
une solution polynomiale par morceaux au temps t n (voir figure 2.2). Sur chaque cellule C i , en
remontant les droites caractéristiques d’équations t = x−x i− 1 2
a
, la solution exacte u h est donnée
par :
⎧
⎪⎨ u n
u h i(x,t n i−1
+∆t) =
(x−a∆t), si x−x i−
1
2
< a,
∆t
⎪⎩ u n i (x−a∆t), si x−x i−
1
2
> a,
∆t
∀x ∈ C i .
Cette solution est alors projetée sur l’espace d’approximation P k C .
Étape de projection : La mise à jour à la date t n +∆t sur la cellule C i est définie comme la
solution du problème de minimisation suivant :
‖u n+1
i
−u h i(t n +∆t)‖ i = inf ‖p−u h i(t n +∆t)‖ i . (2.8)
p∈P k C
Les conditions de Petrov-Galerkin permettent d’écrire ce problème de minimisation (2.8) sous la
forme :
< u n+1
i
−u h i(t n +∆t),p > i = 0 ∀p ∈ P k C.
Puisque l’espace P k C
est engendré par la base (2.5), l’approximation cherchée un+1
i
(x) est alors
solution du système linéaire suivant :
∀l = 0,...,k, < u n+1
i
−u h i (tn +∆t),
31
( ) l x−xi
> i = 0. (2.9)
∆x