Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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2.2. Introduction sur les métho<strong>des</strong> de GRP<br />
t<br />
u n i−1 (x−a∆t) un i (x−a∆t)<br />
u n i−1 (x)<br />
x i−<br />
1<br />
2<br />
un i (x)<br />
x i+<br />
1<br />
2<br />
x<br />
t = t n+1<br />
t = t n<br />
x i−<br />
3<br />
2<br />
x−x i− 1<br />
2<br />
t−t n = a<br />
FIGURE 2.2 – Solution exacte obtenue par la méthode <strong>des</strong> caractéristiques <strong>avec</strong> a > 0<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
est connue, on fait évoluer de manière exacte la solution u n (x) pendant un pas de temps ∆t.<br />
Pour le moment, on suppose que les courbes caractéristiques issues de x i−<br />
1 ne peut pas parcourir<br />
2<br />
plus d’une cellule au cours d’un pas de temps ∆t. En conséquence, on impose la condition CFL<br />
suivante :<br />
λ = a ∆t < 1. (2.7)<br />
∆x<br />
Notons dès à présent que l’on montrera plus tard comment s’affranchir simplement de cette restriction.<br />
Pour faire évoluer la solution de manière exacte, on utilise la méthode <strong>des</strong> caractéristiques. Alors<br />
que cette étape peut s’avérer inenvisageable dans le cas d’équations non linéaires, la linéarité de<br />
l’équation (2.3) permet ici de calculer facilement la solution exacte u h au temps t + ∆t <strong>pour</strong><br />
une solution polynomiale par morceaux au temps t n (voir figure 2.2). Sur chaque cellule C i , en<br />
remontant les droites caractéristiques d’équations t = x−x i− 1 2<br />
a<br />
, la solution exacte u h est donnée<br />
par :<br />
⎧<br />
⎪⎨ u n<br />
u h i(x,t n i−1<br />
+∆t) =<br />
(x−a∆t), si x−x i−<br />
1<br />
2<br />
< a,<br />
∆t<br />
⎪⎩ u n i (x−a∆t), si x−x i−<br />
1<br />
2<br />
> a,<br />
∆t<br />
∀x ∈ C i .<br />
Cette solution est alors projetée sur l’espace d’approximation P k C .<br />
Étape de projection : La mise à jour à la date t n +∆t sur la cellule C i est définie comme la<br />
solution du problème de minimisation suivant :<br />
‖u n+1<br />
i<br />
−u h i(t n +∆t)‖ i = inf ‖p−u h i(t n +∆t)‖ i . (2.8)<br />
p∈P k C<br />
Les conditions de Petrov-Galerkin permettent d’écrire ce problème de minimisation (2.8) sous la<br />
forme :<br />
< u n+1<br />
i<br />
−u h i(t n +∆t),p > i = 0 ∀p ∈ P k C.<br />
Puisque l’espace P k C<br />
est engendré par la base (2.5), l’approximation cherchée un+1<br />
i<br />
(x) est alors<br />
solution du système linéaire suivant :<br />
∀l = 0,...,k, < u n+1<br />
i<br />
−u h i (tn +∆t),<br />
31<br />
( ) l x−xi<br />
> i = 0. (2.9)<br />
∆x