Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 2. SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LE MODÈLE SN
On considère ici le problème mixte pour l’équation d’advection linéaire :
⎧
⎪⎨ ∂ t u(x,t)+a∂ x u(x,t) = 0,
u(x,0) = u 0 (x),
⎪⎩
u(x = 0,t) = u L (t),
(2.3)
où (x,t) ∈ R + × R + , u(x,t) ∈ R et la vitesse a est supposée positive. Les calculs pour le cas
a < 0 où (x,t) ∈ R − ×R + avec une condition de bord sur la droite de domaine étant similaires,
ils ne seront pas détaillés.
On se donne un maillage uniforme composé des cellules C i = [x i−
1
2
,x i+
1] en notant
2
x i+
1 −x
2 i−
1 = ∆x. Les centres des mailles sont notés x i . On définit alors un ensemble de fonctions
polynomiales par maille
2
:
P k C = {u ∈ L∞ (R)/u |Ci ∈ R k [X],∀i ∈ Z}, (2.4)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où R k [X] est l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à k. Afin de simplifier les
calculs par la suite, dans chaque celluleC i , l’ensemble R k [X] est engendré sur la cellule C i par la
base de polynômes définie par :
{ (x−xi ) } j
. (2.5)
∆x
Sur cet espace, on introduit le produit scalaire suivant :
ainsi que la norme correspondante :
< f,g > i = 1
∆x
∫ xi+ 1
2
j=0,...,k
x i−
1
2
f(x)g(x) dx,
‖f‖ i = √ < f,f > i .
Une fois les espaces de polynômes définis, on peut détailler les différentes étapes du schéma.
Approximation considérée et notations : Soit u 0 ∈ P k C , la projection de l’état initial u 0(x)
sur P k C . À l’instant t = tn , on suppose connue une approximation polynomiale de degré k par
maille de la solution de (2.3) notée u n (x) ∈ P k C
telle que :
pour t = t n ,u(x,t n ) ≃ u n i (x) ∈ R k [X] si x ∈ C i .
Étant donnée la base de polynôme considérée, on peut écrire :
u n i (x) =
k∑
j=0
α n,j
i
( ) j x−xi
, (2.6)
où lesα n,j
i
sont les coordonnées deu n i relativement à la base (2.5). Pour définir une approximation
u n+1 (x) ∈ P k C de la solution au temps t = tn +∆t, on procède à une étape d’évolution.
Étape d’évolution : Sachant que la solution exacte du problème mixte suivant :
⎧
⎪⎨ ∂ t u(x,t)+a∂ x u(x,t) = 0,
∆x
⎪⎩
u(x,t n ) = u n i (x) pour x ∈ C i
u(x = 0,t) = u L (t),
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