Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

2.2. Introduction sur les méthodes de GRP
Les schémas implicites existants ne permettent pas toujours de restituer une bonne approximation
de la solution (voir figure 2.1). En effet, dans ces schémas implicites, qui ont initialement été
développés pour des systèmes d’équations non linéaires, c’est la précision d’approximation qui
fait souvent défaut. Dans notre cas, la linéarité du système est un avantage dont on souhaite tirer
partie. En effet, grâce à la méthode des caractéristiques, la solution exacte du système est facile
à calculer. L’utilisation judicieuse de ces solutions exactes va permettre de proposer des schémas
numériques implicites peu coûteux capables de restituer des solutions approchées extrêmement
précises pour des temps physiques de simulation longs. Pour cela, on propose d’étendre des méthodes
de Problème de Riemann Généralisé (GRP) [10, 59]. En effet, elles sont une alternative
intéressante dans la mesure où la linéarité du système permet d’écrire des schémas d’ordre arbitrairement
élevé. Grâce à une étape d’évolution exacte, il n’y a pas de perte d’information et donc
pas d’introduction de diffusion numérique. En cumulant les avantages de cette méthode et en introduisant
une nouvelle étape de projection de la solution, une méthode d’ordre élevé sans restriction
CFL est développée. Ce schéma a notamment fait l’objet d’une publication [18].
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Dans une première partie, on rappelle le principe des méthodes GRP. Puis, on développe une
discrétisation du système linéaire (2.2) reposant sur un schéma de type GRP d’ordre élevé mais
pour lequel aucune restriction sur le pas de temps n’est imposée. Pour simplifier la présentation,
on se place en dimension un d’espace, ramenant ainsi le système (2.2) à une équation de transport.
Une extension en dimension deux de ce schéma pour des maillages non structurés est proposée
dans la partie suivante. Après validation de la méthode, on l’étend au modèle d’ordonnées discrètes
S N du transfert radiatif avec terme source. Finalement, dans le but de comparer les résultats de
ce schéma avec d’autres méthodes numériques, la dernière partie est dédiée au rappel de certaines
méthodes comme le schéma décentré amont pour le modèle d’ordonnées discrètes du transfert
radiatif et les schémas DG et WENO pour l’équation d’advection.
2.2 Introduction sur les méthodes de Problème de Riemann Généralisé
(GRP) en dimension 1
Les solveurs de type GRP (Generalized Riemann Problem) ont été développés par Ben-Artzi
et Falcovitz dans [8, 6] et plus récemment résumés dans [10]. De nombreuses applications peuvent
être trouvées par exemple dans [7, 11, 91] notamment appliquées aux équations d’Euler ou dans
[9] pour une revue de différentes extensions et applications de cette méthode.
Dans ce paragraphe, on s’intéresse à l’équation d’advection en dimension un d’espace. Alors que
les schémas volumes finis d’ordre élevé classiques tels que les schémas MUSCL ou WENO considèrent
une approximation constante par morceaux et une étape de reconstruction de la solution,
l’idée de ces méthodes est de considérer une approximation polynomiale par maille de la solution
supprimant ainsi l’étape de reconstruction. La première étape consiste à faire évoluer de manière
exacte l’approximation polynomiale par morceaux de la solution. Il faut alors résoudre sur chaque
interface un problème de Riemann généralisé où les deux états initiaux (gauche et droit) sont
des polynômes. La deuxième étape consiste à réaliser une projection L 2 de cette solution dans
l’espace de polynômes considéré. Ce choix d’approximation permet ainsi d’obtenir un schéma
d’ordre aussi élevé que le degré des polynômes.
Soulignons que, lorsque l’équation approchée est linéaire, la solution exacte est connue et les calculs
deviennent alors entièrement explicites.
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