Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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Schémas numériques pour le modèle
d’ordonnées discrètes S N
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
2.1 Introduction
La théorie cinétique permet de décrire les phénomènes de transport et d’interactions dans un
système de particules à une échelle microscopique. Ainsi, de nombreuses applications physiques
sont modélisées par des équations cinétiques, comme par exemple l’équation de Boltzmann [58,
28] qui décrit les gaz monoatomiques parfaits, l’équation de Fokker-Planck [71] qui permet d’étudier
par exemple le mouvement brownien ou encore l’équation de neutronique [38] caractérisant
l’évolution des neutrons dans un système (voir aussi [39, 53, 55, 85] pour d’autres exemples). Certains
modèles d’approximation de ces équations, comme le modèle d’ordonnées discrètes, mènent
à des systèmes hyperboliques d’équations de la forme :
∂ t w + div(Mw) = S(w), (2.1)
où w ∈ R n est le vecteur des inconnues, M est une matrice diagonale constante donc diagonalisable
dans R et S(w) est un terme source éventuellement très non linéaire. En particulier, on
s’intéresse dans ce paragraphe à l’approximation en temps long du modèle d’ordonnées discrètes
pour l’ETR décrit dans le paragraphe 1.3. Dans ce cas, on a les définitions suivantes :
⎛
⎛ cΩ 1 0 ... 0
⎞
I =
⎞
⎞
⎛
⎟
0 cΩ 2 ... 0
cσ(B −I 1 )
⎠, M = ⎜
⎝
.
. . ..
⎟
. ⎠ , S = ⎜ ⎟
⎝ . ⎠,
I N cσ(B −I
0 0 ... cΩ N )
N
⎜
⎝I 1
.
si bien que le système s’écrit :
∀1 ≤ l ≤ N,1 ≤ q ≤ Q, ∂ t I l +cΩ l .∇I l = cσ(B −I l ). (1.9)
Après un temps très long, des schémas classiques [86, 103] donnent des solutions totalement
écrasées à moins d’utiliser un maillage extrêmement fin. En effet, on compare sur la figure 2.1
quelques schémas implicites classiques : le schéma d’Euler, de Gear, IMBDF2 [74] et de Crank-
Nicholson pour l’équation de transport à la vitesse 1. Sur le domaine [−1;1], la donnée initiale
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