Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

1.4. Les modèles méso/macroscopiques
où les coefficients I P N
n sont obtenus par :
I P N
n =
∫ 1
−1
I P N
(µ)P n (µ)dµ.
En dimension supérieure, l’intensité radiative est simplement décomposée dans la base des harmoniques
sphériques (voir par exemple [32, 80]).
On substitue alors cette approximation directionnelle de I dans l’ETR (1.32). Puis en multipliant
l’équation par le n ième polynôme de Legendre et en intégrant en direction sur [−1,1], on obtient le
système linéaire d’EDP de taille N +1 suivant :
∫
1 1
c ∂ tI P N
n +∂ x µP n (µ)I P N
n (µ)dµ = σ( 2B ν (T)δ n,0 −I P N
n (µ)) 0 ≤ n ≤ N, (1.34)
−1
car P 0 (µ) = 1 et donc ∫ 1
−1 P n(µ)dµ = ∫ 1
−1 P n(µ)P 0 (µ)dµ.
En utilisant la relation entre les polynômes de Legendre suivante :
(2n+1)µP n (µ) = (n+1)P n+1 (µ)+nP n−1 (µ),
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
le système (1.34) devient :
[
1
c ∂ tI P N n+1
n +∂ x
2n+1 IP N
n+1 + n ]
2n+1 IP N
n−1
= σ ( 2B ν (T)δ n,0 −I P N
n (µ) ) 0 ≤ n ≤ N.
(1.35)
Ce système possède N +2 inconnues pour N +1 équations. Une fermeture naturelle consiste à
imposer que leN +1ème coefficient I P N
N+1
soit nul :
I P N
N+1 = 0.
Finalement, ce modèle permet de réécrire l’intensité radiative comme une combinaison de ses moments.
Plusieurs auteurs ont étudié ce modèle et plus particulièrement le choix du nombre N de
moments (voir par exemple [38, 101]).
On peut montrer que les approches ordonnées discrètes et harmoniques sphériques sont comparables.
En effet, en utilisant des quadratures de Gauss, les solutions données par le modèle S N et le
modèle P N sont les mêmes aux points Ω l [38].
Exemple : le modèle P 1 Ce modèle correspond au modèle P N en prenant N = 1. Dans la
décomposition (1.33) de l’intensité radiative, on voit apparaître exactement les deux premiers
moments E R et F R de I. Comme P 0 (µ) = 1 et P 1 (µ) = µ, on a I P N
0 = E R et I P N
1 = F R . Le
modèle P 1 s’écrit alors :
{
∂ t E R + divF R = c(σ e aT 4 −σ a E R ),
∂ t F R +c 21 3 ∇E R = −cσ f F R .
Ces modèles n’assurent pas la limitation du flux car siE R < 0 par exemple, le facteur d’anisotropie
devient négatif : f < 0.
1.4.3 Modèle de diffusion à flux limité
Historiquement, les modèles de diffusion ont largement été utilisés, surtout quand le rayonnement
est couplé à un autre phénomène physique. Une présentation de ces modèles est donnée
dans le cadre du transfert radiatif dans [96] et dans le cadre de la neutronique dans [84].
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