Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 1. LE TRANSFERT RADIATIF
La résolution de ce problème de minimisation (1.29) permet alors d’obtenir une expression explicite
de I :
I(Ω,ν) = ∑ 2hν 3 [ ( ) chν −1
1I q
c 2 exp
k α q.m −1]
, (1.30)
q
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où α q = (α q ,β q ) T est le multiplicateur de Lagrange associé au problème (1.29) et m = (1,Ω) T .
La pression radiative sur le groupe de fréquence q s’écrit de nouveau en fonction du tenseur
d’Eddington D q :
P q = D q E q ,
avec :
D q = 1−χ q
2
I+ 3χ q −1F q ⊗F q
2 ‖F q ‖ 2 .
Contrairement au cas gris, le facteur d’Eddington χ q n’est plus explicite.
Finalement, le modèle M 1 multigroupe couplé à la matière, s’écrit :
⎧
⎪⎨
⎪⎩
∂ t E q +∇.F q = c(σq eaθ4 q (T)−σa q E q),
∂ t F q +c 2 ∇.(D q E q ) = −cσqF f q ,
ρC v ∂ t T = −c ∑ ∀1 ≤ q ≤ Q (1.31)
Q
q=1 (σe q aθ4 q −σa q E q).
On voit facilement que si l’on ne considère qu’un groupe de fréquences, le modèleM 1 multigroupe
se ramène au modèle M 1 gris. Comme le modèle M 1 gris, ce système est hyperbolique. Il assure
également la propriété fondamentale de limitation du flux. La difficulté du modèle provient du
calcul numérique deχ q et des coefficients α q ,β q . En effet, ils nécessitent l’inversion de fonctions
non linéaires parfois particulièrement raides. Dans la partie 3.3, on développe une procédure de
précalculs de ces coefficients.
1.4.2 Le modèleP N (d’harmoniques sphériques)
Ce modèle est un des plus anciens pour approcher l’équation du transfert radiatif (voir par exemple
[75, 51]). Il permet d’obtenir une approximation d’ordreN aussi élevé que nécessaire. Pour
des raisons de simplicité, on se restreint à la dimension un d’espace et l’opacité σ ν est supposée
constante égale àσ. L’équation du transfert radiatif considérée est donc :
1
c ∂ tI +µ∂ x I = σ(B ν (T)−I), (1.32)
où µ est la projection de la direction Ω sur l’axe des abscisses.
L’idée des harmoniques sphériques est de décomposer l’intensité radiative dans la base des polynômes
de Legendre pour la variable angulaire :
I(µ) =
∞∑
n=0
2n+1
I P N
n
2
P n(µ),
où P n est le n ième polynôme de Legendre. On rappelle que les polynômes de Legendre forment
une base orthogonale deR 2 [X] pour le produit scalaire usuel :
∫ 1
−1
P n (µ)P m (µ)dµ = 2
2n+1 δ n,m.
Pour obtenir une approximation d’ordre N, la série est tronquée. Ainsi, l’approximation I P N(µ)
de I(µ) est donnée par :
N∑
I P N
2n+1
(µ) = I P N
n
2
P n(µ). (1.33)
n=0
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