Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

1.4. Les modèles méso/macroscopiques
suivant la minimisation d’entropie permet d’assurer la positivité de l’énergie ainsi que la limitation
du flux, ce qui n’est pas le cas des modèlesP N par exemple rappelés plus loin. Le système obtenu
est hyperbolique (voir [41]), ce qui permet de lui appliquer des méthodes classiques dédiées à
l’étude et à la résolution numérique de ces systèmes. Dans le paragraphe 3.2.1, le problème de
Riemann est résolu pour ce modèleM 1 en dimension un. En effet, la connaissance de cette solution
exacte est très utile par exemple pour la validation des schémas numériques discrétisant ce modèle.
Puis dans le paragraphe 3.2.4, un schéma préservant l’asymptotique est développé pour ce modèle.
Malgré ces propriétés, le modèle M 1 possède quelques inconvénients. Par exemple, l’intégration
sur toute la sphère ne lui permet pas de reproduire certains phénomènes, comme deux rayons de
même direction et de sens opposés. Pour pallier ce problème, des modèles aux moments partiels
ont été développés [42, 43, 54, 108]. De même, l’intégration sur tout le spectre de fréquences
est souvent trop grossière surtout dans des gaz ou des plasmas. On propose alors une extension
fréquentielle multigroupe de ce modèle dans le paragraphe suivant.
Le modèleM 1 multigroupe
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Le modèleM 1 gris possède de bonnes propriétés (limitation du flux, régimes limites, ...), mais
ne permet pas de considérer des modifications fréquentielles puisque les variables sont intégrées
en fréquence. Étant donnée la forme du spectre de fréquences qui contient des millions de raies, il
est souvent important de les prendre en compte. Le modèle M 1 multigroupe, qui a été développé
par Turpault dans [104, 106], est une extension du modèle M 1 gris. L’idée est de découper le
spectre en groupes de fréquences dans le modèle aux moments intermédiaire (1.15) et de fermer
chaque système suivant le principe de minimisation de l’entropie.
On divise le spectre enQgroupes de fréquences :[0,+∞[= ∪ Q q=0 [ν q,ν q+1 [. Dans chaque groupe
de fréquences, on définit les moments de I de la manière suivante :
E q = 1 c
F q = 1 c
P q = 1 c
∫S 2 ∫ ν q+1
∫S 2 ∫ ν q+1
∫S 2 ∫ ν q+1
ν q
IdνdΩ =< I > q , (1.24)
ν q
cΩIdνdΩ =< cΩI > q , (1.25)
ν q
Ω⊗ΩIdνdΩ =< Ω⊗ΩI > q . (1.26)
On intègre alors le système aux moments intermédiaire (1.15) sur chaque groupe q de fréquences
[ν q ,ν q+1 [ :
{
∂ t E q +∇.F q = c(σq eaθ4 q (T)−σa q E q),
∂ t F q +c 2 ∇.P q = −cσqF f (1.27)
q ,
où θ q (T) est défini tel que :
et les moyennes d’opacités sont définies par :
aθ 4 q(T) =< B(T) > q ,
σ e q< B(T) > q =< σ ν B(T) > q ,
σ a qE q =< σ ν I > q ,
σ f q = c < σ νΩI > q
F q
.
(1.28)
Puis, pour fermer chaque système (1.27), on considère de nouveau que l’intensité radiative est
obtenue par minimisation de l’entropie :
H R (I) = min{H R (I) = ∑ q
< h R (I) > q /∀q,< I > q = E q et < cΩI > q = F q }. (1.29)
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