Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 1. LE TRANSFERT RADIATIF
en remplaçant les intégrations en fréquence et direction par les quadratures ainsi définies, on peut
écrire :
< I >≃< I > d = 1 ∑
I(Ω l ,ν q )ω l θ q .
c
Pour simplifier les notations, on note :
Finalement, l’énergie radiative est approchée par :
E R = 1 c
∫ +∞
0
l,q
I l,q = I(Ω l ,ν q ). (1.10)
∫
I(Ω,ν)dΩdν ≃ 1 ∑
I l,q ω l θ q = E d .
S 2 c
Cette seconde approximation entraîne une modification du modèle (1.9) :
∀ 1 ≤ l ≤ N,1 ≤ q ≤ Q, ∂ t I S N
l,q +cΩ l.∇I S N
l,q
= cσ q
(
l,q
B q −I S N
l,q
)
,
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où B q est une approximation de B ν sur la bande de fréquence [ν q−
1
2
;ν q+
1[. On choisit ici de
2
l’approcher suivant un principe de minimisation de l’entropie discrète. En effet, en remplaçant
l’intégration en fréquence par une quadrature, en général, < B ν > d ≠ aT 4 . Pour maintenir l’énergie
de B ν égale à aT 4 , l’idée est de définir la fonction B q suivant le principe de minimisation
d’entropie sous contraintes :
où l’entropie discrète est donnée par :
H ∗ (B) = argmin{H ∗ (I),< I > d = aT 4 },
H ∗ (I) =< h ∗ (I) > d =< 2kν3
c 3 [nln(n)−(n+1)ln(n+1)] > d .
En pratique, on peut montrer que la fonction B q peut s’écrire sous la forme :
∀1 ≤ q ≤ Q, B q = B(T,ν q ) = 2hν3 q
c 2 [
exp
( chνq α
k
)
−1] −1
,
où α = α(T), le multiplicateur de Lagrange, est obtenu par la résolution de < B q >= aT 4 .
Finalement, avec cette discrétisation fréquentielle, le modèle d’ordonnées discrètes pour (1.8)
s’écrit :
( )
∀ 1 ≤ l ≤ N,1 ≤ q ≤ Q, ∂ t I S N
l,q +cΩ l.∇I S N
l,q
= cσ q B q −I S N
l,q
. (1.11)
Ce modèle peut notamment être utilisé pour approcher l’équation du transfert radiatif lorsqu’une
approximation très précise de la solution est demandée. En effet, l’approximation sera d’autant
plus précise si l’on considère un grand nombre de directions. On rappelle qu’une condition nécessaire
pour la validité du modèle est de pouvoir supposer l’opacité σ ν constante sur chaque intervalle
de fréquence considéré, c’est pourquoi on utilise des bandes étroites. Pour discrétiser
ce modèle, on développe dans le paragraphe 2.5 un nouveau schéma numérique de type GRP
espace-temps d’ordre élevé en temps et en espace sans restriction sur le pas de temps. On rappelle
également dans le paragraphe 2.6.1, le schéma volumes finis décentré amont associé à ce modèle.
Quelques cas-tests dans le paragraphe 5.1 viendront illustrer ces différents schémas.
20