Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 1. LE TRANSFERT RADIATIF
on prend en compte uniquement les termes d’échanges entre la matière et le rayonnement suivants
l’équation :
∫ ∞ ∫
ρC v ∂ t T = − σ ν (B ν (T)−I)dΩdν. (1.6)
0 S 2
Cette équation peut s’obtenir par exemple en considérant ρ = cte etu = cte dans les équations de
Navier-Stokes.
D’un point de vue physique, l’équation du transfert radiatif comporte deux régimes limites suivant
la nature des opacités. Quand l’opacité σ ν est grande, l’équation du transfert radiatif dégénère en
une équation de diffusion à l’équilibre [93] :
( c
∂ t (aT 4 +ρC v T)−∇
3σ R∇aT4) = 0, (1.7)
où σ R est la moyenne d’opacité de Rosseland définie par :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
σ R =
∫ ∞
0
∫ ∞
0
∂ t B ν (T)dν
1
σ ν
∂ t B ν (T)dν .
En effet, dans ce cas, l’intensité radiative proche de l’équilibre tend à devenir une Planckienne
(1.1). Certains modèles sont basés sur cette limite, tels que le modèle de diffusion à flux limité.
À l’inverse, quand σ ν = 0, il est évident que l’ETR (1.2) se ramène à une équation de transport.
Comme l’opacitéσ ν dépend de la température matièreT et d’autres grandeurs hydrodynamiques,
on peut se retrouver dans certaines applications avec des zones a priori non déterminées pour
lesquelles l’opacité est très faible, d’autres où l’opacité est très grande et des régimes intermédiaires.
Numériquement, il faut donc être capable de gérer simultanément ces trois régimes dont
les équations sont de natures différentes.
Si l’on veut résoudre numériquement l’équation du transfert radiatif, il faudrait échantillonner
toutes les directions, mais aussi toutes les fréquences d’intérêt. Pour calculer l’opacité du milieu
considéré, il faudrait ainsi échantillonner toutes les raies du spectre correspondant. À l’heure
actuelle, pour un calcul àt,xetΩfixés, plusieurs jours de calcul sont nécessaires pour obtenir une
approximation aussi fine de l’opacité σ ν . C’est pourquoi il est nécessaire de simplifier cette équation
pour réaliser certaines simulations d’intérêt physique avec un temps de calcul raisonnable.
En fonction du niveau de précision souhaitée, on recense une hiérarchie de modèles. L’une des
caractéristiques du modèle est que l’on peut faire un traitement différent en ν et en Ω. Pour la
discrétisation fréquentielle, on compte quatre niveaux :
• Raie par raie. Chaque espèce chimique comptant des millions de raies, cette résolution est
très précise, mais extrêmement coûteuse. De plus, les bases de données complètes pour de
larges gammes de températures et pressions étant rares, les applications sont restreintes.
• Bandes étroites de fréquences, c’est-à-dire de petits intervalles de fréquences sur lequel la
fonction de Planck B peut être considérée constante.
• Multigroupe où l’on considère de grands intervalles de fréquences (appelés groupes) diminuant
ainsi le nombre d’inconnues, mais où les moyennes d’opacités sont à calculer avec
précaution.
• Gris, c’est-à-dire intégré sur toutes les fréquences.
En pratique, pour une simulation donnée, si l’on considère plusieurs millions de raies, on prendra
quelques milliers de bandes étroites ou au plus quelques dizaines de groupes.
Au niveau directionnel, on compte essentiellement deux niveaux de résolution :
• Ordonnées discrètes, c’est-à-dire que l’on fixeN directions de la sphère et que l’on approche
l’intégrale sur la sphère par une méthode de quadrature.
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