Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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Thèse de Doctorat<br />
Céline SARAZIN-DESBOIS<br />
<strong>Métho<strong>des</strong></strong> <strong>numériques</strong> <strong>pour</strong> <strong>des</strong> <strong>systèmes</strong> <strong>hyperboliques</strong> <strong>avec</strong> <strong>terme</strong> source<br />
provenant de physiques complexes autour du rayonnement<br />
Numerical methods for hyperbolic systems with source term issuing from<br />
complex physic for radiation<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Résumé<br />
Ce manuscrit est dédié à l’approximation numérique de<br />
plusieurs modèles du transfert radiatif. Dans un premier<br />
temps, l’attention est portée sur le modèle cinétique d’ordonnées<br />
discrètes. Dans le but de coupler ce modèle <strong>avec</strong><br />
d’autres phénomènes plus lents, il est nécessaire d’avoir<br />
<strong>des</strong> métho<strong>des</strong> <strong>numériques</strong> performantes et précises sur<br />
<strong>des</strong> temps longs. À partir d’une double approximation polynomiale<br />
de la solution en temps et en espace, on développe<br />
un schéma de type GRP d’ordre élevé sans restriction sur<br />
le pas de temps <strong>pour</strong> un système hyperbolique linéaire<br />
sur <strong>des</strong> maillages non structurés. Ce schéma est ensuite<br />
étendu <strong>pour</strong> le modèle d’ordonnées discrètes. Dans un second<br />
temps, on s’intéresse à <strong>des</strong> modèles aux moments issus<br />
du transfert radiatif. En effet, dans certaines applications,<br />
les modèles aux moments de type M 1 conservent<br />
de nombreuses propriétés de l’ETR et fournissent une approximation<br />
suffisante de la solution. Après avoir résolu<br />
le problème de Riemann associé au modèle M 1 gris, on<br />
considère l’approximation numérique du modèle M 1 multigroupe.<br />
Une attention particulière est portée sur le calcul<br />
<strong>des</strong> moyennes d’opacités et <strong>des</strong> lois de fermeture. Un algorithme<br />
de précalculs est alors mis en place. La dernière<br />
application traitée dans ce mémoire porte sur une extension<br />
du transfert radiatif <strong>pour</strong> estimer <strong>des</strong> doses de radiothérapie.<br />
À la différence du M 1 gris usuel, les flux dépendent<br />
ici de fonctions peu régulières en espace. Grâce à <strong>des</strong><br />
changements de variables, un schéma HLL rétrograde est<br />
développé. De nombreux exemples <strong>numériques</strong> illustrent<br />
l’intérêt <strong>des</strong> schémas obtenus dans cette étude.<br />
Abstract<br />
This work is devoted to numerical approximation of radiative<br />
transfer models. On the one hand, we focus on<br />
the discrete ordinates model. In order to couple this<br />
phenomena with slower ones, accurate and efficient<br />
numerical methods for long times are recquired. From<br />
a double time-space approximation of the solution, a<br />
high order GRP type scheme is developped with unrestricted<br />
time steps for hyperbolic linear systems on<br />
unstructured meshes. This scheme is then extended<br />
to discrete ordinates model. On the other hand, we<br />
focus on moment models of radiative transfer. Actually,<br />
in many applications, they remain a lot of properties<br />
from the RTE and give a sufficient approximation<br />
of the solution. Once the Riemann problem of the grey<br />
M 1 model is solved, the numerical approximation of the<br />
multigroupeM 1 model is considered. A particular attention<br />
is paid on the calculation of opacity means and closure<br />
laws. A precalculation algorithm is developped.<br />
The last application is concerned with an extension<br />
of radiative transfer to estimate the dose in radiotherapy.<br />
Unlike the usual greyM 1 model, the space dependence<br />
in the fluxes is not necessary smooth. Thanks<br />
to changings of variables, a backward HLL scheme is<br />
developped. Many examples illustrate the interest of<br />
the obtained schemes.<br />
Mots clés<br />
Systèmes <strong>hyperboliques</strong> <strong>avec</strong> <strong>terme</strong>s sources, transfert<br />
radiatif, modèle S N , modèles M 1 gris et M 1 multigroupe,<br />
schéma GRP espace-temps d’ordre élevé, schéma<br />
préservant l’asymptotique, problème de Riemann,<br />
radiothérapie, schémas <strong>pour</strong> <strong>des</strong> flux discontinus.<br />
Key Words<br />
Hyperbolic systems with source terms, radiative transfer,<br />
S N model, M 1 grey model and M 1 multigroup,<br />
space-time high order GRP type scheme, asymptotic<br />
preserving scheme, Riemann problem, radiotherapy,<br />
scheme for discontinuous flux fonctions.<br />
L’UNIVERSITÉ NANTES ANGERS LE MANS