Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

Thèse de Doctorat
Céline SARAZIN-DESBOIS
Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme source
provenant de physiques complexes autour du rayonnement
Numerical methods for hyperbolic systems with source term issuing from
complex physic for radiation
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Résumé
Ce manuscrit est dédié à l’approximation numérique de
plusieurs modèles du transfert radiatif. Dans un premier
temps, l’attention est portée sur le modèle cinétique d’ordonnées
discrètes. Dans le but de coupler ce modèle avec
d’autres phénomènes plus lents, il est nécessaire d’avoir
des méthodes numériques performantes et précises sur
des temps longs. À partir d’une double approximation polynomiale
de la solution en temps et en espace, on développe
un schéma de type GRP d’ordre élevé sans restriction sur
le pas de temps pour un système hyperbolique linéaire
sur des maillages non structurés. Ce schéma est ensuite
étendu pour le modèle d’ordonnées discrètes. Dans un second
temps, on s’intéresse à des modèles aux moments issus
du transfert radiatif. En effet, dans certaines applications,
les modèles aux moments de type M 1 conservent
de nombreuses propriétés de l’ETR et fournissent une approximation
suffisante de la solution. Après avoir résolu
le problème de Riemann associé au modèle M 1 gris, on
considère l’approximation numérique du modèle M 1 multigroupe.
Une attention particulière est portée sur le calcul
des moyennes d’opacités et des lois de fermeture. Un algorithme
de précalculs est alors mis en place. La dernière
application traitée dans ce mémoire porte sur une extension
du transfert radiatif pour estimer des doses de radiothérapie.
À la différence du M 1 gris usuel, les flux dépendent
ici de fonctions peu régulières en espace. Grâce à des
changements de variables, un schéma HLL rétrograde est
développé. De nombreux exemples numériques illustrent
l’intérêt des schémas obtenus dans cette étude.
Abstract
This work is devoted to numerical approximation of radiative
transfer models. On the one hand, we focus on
the discrete ordinates model. In order to couple this
phenomena with slower ones, accurate and efficient
numerical methods for long times are recquired. From
a double time-space approximation of the solution, a
high order GRP type scheme is developped with unrestricted
time steps for hyperbolic linear systems on
unstructured meshes. This scheme is then extended
to discrete ordinates model. On the other hand, we
focus on moment models of radiative transfer. Actually,
in many applications, they remain a lot of properties
from the RTE and give a sufficient approximation
of the solution. Once the Riemann problem of the grey
M 1 model is solved, the numerical approximation of the
multigroupeM 1 model is considered. A particular attention
is paid on the calculation of opacity means and closure
laws. A precalculation algorithm is developped.
The last application is concerned with an extension
of radiative transfer to estimate the dose in radiotherapy.
Unlike the usual greyM 1 model, the space dependence
in the fluxes is not necessary smooth. Thanks
to changings of variables, a backward HLL scheme is
developped. Many examples illustrate the interest of
the obtained schemes.
Mots clés
Systèmes hyperboliques avec termes sources, transfert
radiatif, modèle S N , modèles M 1 gris et M 1 multigroupe,
schéma GRP espace-temps d’ordre élevé, schéma
préservant l’asymptotique, problème de Riemann,
radiothérapie, schémas pour des flux discontinus.
Key Words
Hyperbolic systems with source terms, radiative transfer,
S N model, M 1 grey model and M 1 multigroup,
space-time high order GRP type scheme, asymptotic
preserving scheme, Riemann problem, radiotherapy,
scheme for discontinuous flux fonctions.
L’UNIVERSITÉ NANTES ANGERS LE MANS