Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

1.2. Généralités sur le Transfert Radiatif
variables dès qu’aucune confusion n’est possible. De plus, on négligera les effets du scattering
excepté dans la partie dédiée à la radiothérapie où ils sont, au contraire, prépondérants.
Certaines grandeurs macroscopiques ont un intérêt physique dans la description du phénomène.
Ces variables, appelées moments, sont obtenues en intégrant les variables microscopiques en direction
et en fréquence. En particulier, on s’intéresse aux trois premiers moments de l’intensité
radiative :
Énergie radiative : E R = 1 c
Flux radiatif : F R = 1 c
Pression radiative : P R = 1 c
∫S 2 ∫ ∞
0
∫ ∞ ∫S 2
0
∫ ∞ ∫S 2
0
I(ν,Ω)dνdΩ, (1.3)
cΩ·I(ν,Ω)dνdΩ, (1.4)
Ω⊗ΩI(ν,Ω)dνdΩ,. (1.5)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Comme l’intensité radiative I est positive et‖Ω‖ = 1, le facteur d’anisotropie f est naturellement
limité :
f = ‖F R‖
cE R
< 1.
Si cette propriété fondamentale de limitation du flux est violée, cela implique que E R et F R ne
sont pas les deux premiers moments d’une intensité radiative positive.
Notation. Pour simplifier l’écriture des moments, on emploiera la notation suivante :
< . >= 1 c
∫S 2 ∫ ∞
0
. dνdΩ.
Si l’on s’intéresse aux moments de la fonction de Planck, on voit facilement qu’elle possède un
flux nul car elle est isotrope, c’est-à-dire qu’elle ne dépend pas de la direction. De plus, son énergie
peut être calculée analytiquement :
< B ν >= aT 4
oùa ≃ 7.56.10 −16 J.m −3 .K −4 est une constante (voir nomenclature). Enfin, le caractère isotrope
deB implique également que
< Ω⊗ΩB ν >= aT4
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L’entropie radiative du système est une autre grandeur physique qui aura un rôle important par la
suite. Elle est obtenue à partir du deuxième principe de la thermodynamique et donnée par :
H R (I) =< h R (I) >=< 2kν3
c 3 [nlnn−(n+1)ln(n+1)] >,
où n est le nombre d’occupation relié àI par la relation :
n = c2
2hν 3I.
On peut remarquer par un calcul direct que la fonction de Planck est le minimum de cette entropie :
B ν = argmin{H R (I) =< h R (I) >}.
Comme mentionné ci-dessus, l’énergie radiative n’est pas conservée si l’on ne considère que
l’équation du transfert radiatif. Pour ce faire, il faut donc coupler l’ETR avec une équation régissant
l’énergie matière. Étant donné que l’on s’intéresse essentiellement aux effets du rayonnement,
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