Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

A.3. Obtention du modèleM 1 de la radiothérapie à partir des équations de Fokker-Planck et CSD
Les termes (a) et (d) sont encore les mêmes que pour l’équation de Fokker-Planck.
Pour simplifier les termes (b) et (c), on introduit un changement de variable. Comme la variable
d’intégration est une direction, on peut effectuer une rotation R :
⎛ ⎞
0
RΩ ′ = ⎝0⎠ = e 3
1
⎛√ ⎞
RΩ = ˜Ω √ 1−µ 2 cos ϕ
= ⎝ 1−µ 2 sin ϕ⎠
∥ µ
On peut alors écrire le terme (b) de la façon suivante :
∫
∫ ∫
ρ Ω ¯σ(Ω
∫S ′ .Ω)Ψ(Ω ′ ) dΩ ′ dΩ = ρ Ψ(Ω ′ ) Ω ¯σ(Ω ′ .Ω)dΩ dΩ ′ ,
2 S 2 S 2 S
∫ ∫
2
= ρ Ψ(Ω ′ ) R T ˜Ω ¯σ(R T Ω ′ .R T Ω)d˜Ω dΩ ′ ,
S 2 S 2
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
et comme R T Ω ′ .R T Ω = µ, on peut écrire l’intégrale en coordonnées sphériques :
⎛√ ⎞
∫
∫ 1 ∫ 2π
ρ Ω ¯σ(Ω
∫S ′ .Ω)Ψ(Ω ′ )dΩ ′ dΩ = ρ Ψ(Ω 2 S
∫S ′ )R T √ 1−µ 2 cos ϕ
¯σ(µ) ⎝ 1−µ 2 sin ϕ⎠dµ dϕdΩ ′ ,
2 2 −1 0
µ
⎛ ⎞
∫ 0 ∫ 1
= 2πρ Ψ(Ω ′ )R T ⎝0⎠
µ ¯σ(µ) dµ dΩ ′ ,
S 2 1
−1
∫ 1
= 2πρ Ψ(Ω
∫S ′ )Ω ′ dΩ ′ µ ¯σ(µ) dµ ,
2 −1
∫ 1
= 2πρΨ 1 µ ¯σ(µ) dµ ,
et on obtient à partir de (c) :
∫
∫ ∫
ρΩ¯σ(Ω.Ω
∫S ′ )Ψ(Ω)dΩ ′ dΩ = ρ ΩΨ(Ω) ¯σ(Ω.Ω ′ )dΩ ′ dΩ
2 S 2 S 2 S
∫ ∫ 2 2π ∫ 1
= ρ ΩΨ(Ω) ¯σ(µ) dµ dϕdΩ,
S 2 0 −1
−1
= 2π ρ
∫ 1
−1
¯σ(µ) dµ Ψ 1 ,
L’équation (A.20) s’écrit donc :
∇Ψ 2 = 2πρ
∫ 1
−1
(µ−1)¯σ(µ) dµΨ 1 +∂ ε (S M Ψ 1 ).
Pour garder les mêmes notations qu’avec l’équation de Fokker-Planck, on écrit le coefficient
de transport T tot de la façon suivante :
∫ 1
T tot (x,ε) = πρ(x) ¯σ(ε,µ) dµ,
−1
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