Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

ANNEXE A. APPENDICE
Le modèle aux moments obtenu est donc :
{
∇.Ψ 1 (x,ε) = ∂ ε (S M (x,ε)Ψ 0 (x,ε)),
∇.Ψ 2 (x,ε) = ∂ ε (S M (x,ε)Ψ 1 (x,ε))−2 T tot (x,ε)Ψ 1 (x,ε).
(A.19)
A.3.2
CSD (Continuous Slowing Down)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Une seconde méthode pour obtenir le modèle aux moments est de partir de l’équation CSD :
∫
∫
Ω.∇Ψ(x,ε,Ω) =ρ(x) ¯σ(ε,Ω ′ .Ω)Ψ(x,ε,Ω ′ )dΩ ′ −ρ(x) ¯σ(ε,Ω.Ω ′ )Ψ(x,ε,Ω)dΩ ′
S 2 S 2
+∂ ε (S M (x,ε)Ψ(x,ε,Ω)).
(4.1)
Afin de simplifier les notations, on omet la dépendance en énergie et en espace.
Comme pour l’équation de Fokker-Planck, on intègre en angle sur la sphère unité :
( 1
Lemma 2. Après avoir multiplié l’équation CSD par le vecteur , et intégré les deux équa-
Ω)
tions obtenues suivant la direction, on obtient le système :
appelé modèle aux moments.
{
∇Ψ 1 = ∂ ε (S M Ψ 0 ),
∇Ψ 2 = −2T tot Ψ 1 +∂ ε (S M Ψ 1 ),
Démonstration. On commence par intégrer l’équation CSD (4.1) sur la sphère unité :
∫
S 2 Ω.∇Ψ(Ω)dΩ
} {{ }
(a)
∫
=
∫S 2
ρ¯σ(Ω ′ .Ω)Ψ(Ω ′ )dΩ ′ dΩ
S
} 2 {{ }
(b)
∫
+ ∂ ε (S M Ψ(Ω))dΩ.
S
} 2 {{ }
(d)
∫
− ρ¯σ(Ω.Ω
∫S ′ )Ψ(Ω)dΩ ′ dΩ
2 S
} 2 {{ }
(c)
Les termes (a) et (d) sont les mêmes que pour l’équation de Fokker-Planck. Par symétrie du produit
scalaire, on remarque que les termes (b) et (c) s’annulent. La première ligne du modèle est donc :
∫
∇Ψ 1 = ∂ ε (S M Ψ 0 ).
Puis en multipliant l’équation (4.1) par Ω et en intégrant sur la sphère unité, on obtient :
S 2 Ω⊗Ω.∇Ψ(Ω)dΩ
} {{ }
(a)
∫
=
∫S 2
ρΩ¯σ(Ω ′ .Ω)Ψ(Ω ′ )dΩ ′ dΩ
S
} 2 {{ }
(b)
∫
+ Ω∂ ε (S M Ψ(Ω))dΩ.
S
} 2 {{ }
(d)
162
∫
− ρΩ¯σ(Ω.Ω
∫S ′ )Ψ(Ω)dΩ ′ dΩ
2 S
} 2 {{ }
(c)
(A.20)