Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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ANNEXE A. APPENDICE<br />
Le modèle aux moments obtenu est donc :<br />
{<br />
∇.Ψ 1 (x,ε) = ∂ ε (S M (x,ε)Ψ 0 (x,ε)),<br />
∇.Ψ 2 (x,ε) = ∂ ε (S M (x,ε)Ψ 1 (x,ε))−2 T tot (x,ε)Ψ 1 (x,ε).<br />
(A.19)<br />
A.3.2<br />
CSD (Continuous Slowing Down)<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Une seconde méthode <strong>pour</strong> obtenir le modèle aux moments est de partir de l’équation CSD :<br />
∫<br />
∫<br />
Ω.∇Ψ(x,ε,Ω) =ρ(x) ¯σ(ε,Ω ′ .Ω)Ψ(x,ε,Ω ′ )dΩ ′ −ρ(x) ¯σ(ε,Ω.Ω ′ )Ψ(x,ε,Ω)dΩ ′<br />
S 2 S 2<br />
+∂ ε (S M (x,ε)Ψ(x,ε,Ω)).<br />
(4.1)<br />
Afin de simplifier les notations, on omet la dépendance en énergie et en espace.<br />
Comme <strong>pour</strong> l’équation de Fokker-Planck, on intègre en angle sur la sphère unité :<br />
( 1<br />
Lemma 2. Après avoir multiplié l’équation CSD par le vecteur , et intégré les deux équa-<br />
Ω)<br />
tions obtenues suivant la direction, on obtient le système :<br />
appelé modèle aux moments.<br />
{<br />
∇Ψ 1 = ∂ ε (S M Ψ 0 ),<br />
∇Ψ 2 = −2T tot Ψ 1 +∂ ε (S M Ψ 1 ),<br />
Démonstration. On commence par intégrer l’équation CSD (4.1) sur la sphère unité :<br />
∫<br />
S 2 Ω.∇Ψ(Ω)dΩ<br />
} {{ }<br />
(a)<br />
∫<br />
=<br />
∫S 2<br />
ρ¯σ(Ω ′ .Ω)Ψ(Ω ′ )dΩ ′ dΩ<br />
S<br />
} 2 {{ }<br />
(b)<br />
∫<br />
+ ∂ ε (S M Ψ(Ω))dΩ.<br />
S<br />
} 2 {{ }<br />
(d)<br />
∫<br />
− ρ¯σ(Ω.Ω<br />
∫S ′ )Ψ(Ω)dΩ ′ dΩ<br />
2 S<br />
} 2 {{ }<br />
(c)<br />
Les <strong>terme</strong>s (a) et (d) sont les mêmes que <strong>pour</strong> l’équation de Fokker-Planck. Par symétrie du produit<br />
scalaire, on remarque que les <strong>terme</strong>s (b) et (c) s’annulent. La première ligne du modèle est donc :<br />
∫<br />
∇Ψ 1 = ∂ ε (S M Ψ 0 ).<br />
Puis en multipliant l’équation (4.1) par Ω et en intégrant sur la sphère unité, on obtient :<br />
S 2 Ω⊗Ω.∇Ψ(Ω)dΩ<br />
} {{ }<br />
(a)<br />
∫<br />
=<br />
∫S 2<br />
ρΩ¯σ(Ω ′ .Ω)Ψ(Ω ′ )dΩ ′ dΩ<br />
S<br />
} 2 {{ }<br />
(b)<br />
∫<br />
+ Ω∂ ε (S M Ψ(Ω))dΩ.<br />
S<br />
} 2 {{ }<br />
(d)<br />
162<br />
∫<br />
− ρΩ¯σ(Ω.Ω<br />
∫S ′ )Ψ(Ω)dΩ ′ dΩ<br />
2 S<br />
} 2 {{ }<br />
(c)<br />
(A.20)