Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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A.3. Obtention du modèleM 1 de la radiothérapie à partir <strong>des</strong> équations de Fokker-Planck et CSD<br />
L’équation du premier moment s’écrit ainsi :<br />
∇Ψ 1 = ∂ ε (S M Ψ 0 ).<br />
Pour augmenter l’ordre dans le <strong>terme</strong> du moment, on multiplie l’équation (4.4) par Ω, puis on<br />
intègre en angle sur la sphère unité :<br />
∫<br />
∫<br />
Ω⊗Ω∇ΨdΩ = T tot Ω.∆ Ω ΨdΩ+<br />
Ω∂ ε (S M Ψ)dΩ.<br />
S<br />
∫S<br />
} 2 {{ } } 2 S<br />
{{ } } 2 {{ }<br />
(a)<br />
(b) (c)<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Les <strong>terme</strong>s (a) et (b) s’écrivent simplement :<br />
∫ ∫<br />
(a) : Ω⊗Ω∇ΨdΩ = ∇ Ω⊗ΩΨdΩ = ∇Ψ 2 ,<br />
S 2 S 2 ∫<br />
(b) : Ω∂ ε (S M Ψ) dΩ = ∂ ε (S M Ω.ΨdΩ) = ∂ ε (S M Ψ<br />
∫S 1 ).<br />
2 S 2<br />
On détaille le <strong>terme</strong> (b) en écrivant les trois composantes du vecteur :<br />
⎛∫ 1 2π<br />
√ (<br />
∫<br />
⎜<br />
−1∫<br />
0 1−µ 2 cosϕ∂ µ (1−µ 2 ) ∂ µ Ψ ) ⎞<br />
dϕdµ<br />
∫<br />
Ω∆ Ω ΨdΩ = 1 2π<br />
√ (<br />
⎝<br />
−1∫<br />
S 2 0 1−µ 2 sinϕ∂ µ (1−µ 2 ) ∂ µ Ψ ) ⎟<br />
dϕ dµ ⎠<br />
∫ 1 2π<br />
−1∫<br />
0<br />
µ∂ µ (1−µ 2 ( )<br />
) ∂ µ Ψ dϕdµ<br />
⎛∫ 1 2π<br />
√<br />
−1∫<br />
0 1−µ 2 cosϕ 1 ∂<br />
1−µ<br />
⎜<br />
2 ϕ 2Ψ dϕdµ ⎞<br />
∫ 1 2π<br />
√<br />
+ ⎝ −1∫<br />
0 1−µ 2 sinϕ 1<br />
1−µ<br />
∂ϕΨ 2 ⎟<br />
dϕdµ ⎠.<br />
∫ 2 1 2π<br />
−1∫<br />
0<br />
µ 1 ∂ 2 1−µ ϕΨdϕ dµ 2<br />
(A.18)<br />
Pour la première composante du vecteur, après deux intégrations par parties dans chaque intégrale<br />
(en µ <strong>pour</strong> la première partie et enϕ<strong>pour</strong> la seconde partie), on obtient :<br />
∫ ∫ 1 ∫ 2π<br />
( Ω∆ Ω ΨdΩ) 1 = cosϕ[− √ 1−µ 2 µ 2<br />
+ √ − 1<br />
√ ]Ψ dϕ dµ,<br />
S 2 −1 0<br />
1−µ<br />
2 1−µ<br />
2<br />
∫ 1 ∫ 2π √<br />
= −2 1−µ 2 cosϕΨdϕ dµ,<br />
−1<br />
0<br />
et de la même façon, <strong>pour</strong> la deuxième composante :<br />
∫ ∫ 1 ∫ 2π √<br />
( Ω∆ Ω ΨdΩ) 2 = −2 1−µ 2 sinϕΨdϕdµ.<br />
S 2 −1 0<br />
Pour la troisième composante, après deux intégrations par parties en µ <strong>pour</strong> la première moitié,<br />
une intégration par parties en ϕ et la propriété de2π-périodicité deΨ, on trouve :<br />
∫ ∫ 1 ∫ 2π<br />
( Ω∆ Ω ΨdΩ) 3 = −2 µΨdϕdµ.<br />
S 2 −1 0<br />
Finalement, on obtient <strong>pour</strong> (b) le vecteur :<br />
⎛<br />
∫ −2 ∫ 1 ∫ 2π<br />
√ ⎞<br />
−1 0 1−µ 2 cosϕ Ψdϕ dµ<br />
⎜<br />
Ω∆ Ω ΨdΩ = ⎝−2 ∫ ∫<br />
1<br />
∫ 2π<br />
√<br />
S 2 −1 0 1−µ 2 ⎟<br />
sinϕ Ψdϕ dµ<br />
−2 ∫ ⎠ = −2 ΩΨdΩ = −2Ψ 1 ,<br />
1 ∫ 2π<br />
S<br />
−1 0<br />
µΨdϕ dµ<br />
2<br />
qui mène à l’équation :<br />
∇Ψ 2 = −2(T tot Ψ 1 +∂ ε (S M Ψ 1 ).<br />
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