Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

A.3. Obtention du modèleM 1 de la radiothérapie à partir des équations de Fokker-Planck et CSD
L’équation du premier moment s’écrit ainsi :
∇Ψ 1 = ∂ ε (S M Ψ 0 ).
Pour augmenter l’ordre dans le terme du moment, on multiplie l’équation (4.4) par Ω, puis on
intègre en angle sur la sphère unité :
∫
∫
Ω⊗Ω∇ΨdΩ = T tot Ω.∆ Ω ΨdΩ+
Ω∂ ε (S M Ψ)dΩ.
S
∫S
} 2 {{ } } 2 S
{{ } } 2 {{ }
(a)
(b) (c)
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Les termes (a) et (b) s’écrivent simplement :
∫ ∫
(a) : Ω⊗Ω∇ΨdΩ = ∇ Ω⊗ΩΨdΩ = ∇Ψ 2 ,
S 2 S 2 ∫
(b) : Ω∂ ε (S M Ψ) dΩ = ∂ ε (S M Ω.ΨdΩ) = ∂ ε (S M Ψ
∫S 1 ).
2 S 2
On détaille le terme (b) en écrivant les trois composantes du vecteur :
⎛∫ 1 2π
√ (
∫
⎜
−1∫
0 1−µ 2 cosϕ∂ µ (1−µ 2 ) ∂ µ Ψ ) ⎞
dϕdµ
∫
Ω∆ Ω ΨdΩ = 1 2π
√ (
⎝
−1∫
S 2 0 1−µ 2 sinϕ∂ µ (1−µ 2 ) ∂ µ Ψ ) ⎟
dϕ dµ ⎠
∫ 1 2π
−1∫
0
µ∂ µ (1−µ 2 ( )
) ∂ µ Ψ dϕdµ
⎛∫ 1 2π
√
−1∫
0 1−µ 2 cosϕ 1 ∂
1−µ
⎜
2 ϕ 2Ψ dϕdµ ⎞
∫ 1 2π
√
+ ⎝ −1∫
0 1−µ 2 sinϕ 1
1−µ
∂ϕΨ 2 ⎟
dϕdµ ⎠.
∫ 2 1 2π
−1∫
0
µ 1 ∂ 2 1−µ ϕΨdϕ dµ 2
(A.18)
Pour la première composante du vecteur, après deux intégrations par parties dans chaque intégrale
(en µ pour la première partie et enϕpour la seconde partie), on obtient :
∫ ∫ 1 ∫ 2π
( Ω∆ Ω ΨdΩ) 1 = cosϕ[− √ 1−µ 2 µ 2
+ √ − 1
√ ]Ψ dϕ dµ,
S 2 −1 0
1−µ
2 1−µ
2
∫ 1 ∫ 2π √
= −2 1−µ 2 cosϕΨdϕ dµ,
−1
0
et de la même façon, pour la deuxième composante :
∫ ∫ 1 ∫ 2π √
( Ω∆ Ω ΨdΩ) 2 = −2 1−µ 2 sinϕΨdϕdµ.
S 2 −1 0
Pour la troisième composante, après deux intégrations par parties en µ pour la première moitié,
une intégration par parties en ϕ et la propriété de2π-périodicité deΨ, on trouve :
∫ ∫ 1 ∫ 2π
( Ω∆ Ω ΨdΩ) 3 = −2 µΨdϕdµ.
S 2 −1 0
Finalement, on obtient pour (b) le vecteur :
⎛
∫ −2 ∫ 1 ∫ 2π
√ ⎞
−1 0 1−µ 2 cosϕ Ψdϕ dµ
⎜
Ω∆ Ω ΨdΩ = ⎝−2 ∫ ∫
1
∫ 2π
√
S 2 −1 0 1−µ 2 ⎟
sinϕ Ψdϕ dµ
−2 ∫ ⎠ = −2 ΩΨdΩ = −2Ψ 1 ,
1 ∫ 2π
S
−1 0
µΨdϕ dµ
2
qui mène à l’équation :
∇Ψ 2 = −2(T tot Ψ 1 +∂ ε (S M Ψ 1 ).
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