Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

ANNEXE A. APPENDICE
A.2.2 Approximation de l’intégrale première E 1
Numériquement, on approche cette fonction par :
Si0 ≤ x < 1, E 1 (x) ≃ −ln(x)+a 0 +a 1 x+a 2 x 2 +a 3 x 3 +a 4 x 4 +a 5 x 5 ,
Six ≥ 1, E 1 (x) ≃ exp(−x)∗(x4 +c 1 x 3 +c 2 x 2 +c 3 x+c 4 )
x 5 +b 1 x 4 +b 2 x 3 +b 3 x 2 .
+b 4 x)
Les coefficients sont donnés par :
a 0 = −0.57721566 c 1 = 8.5733287401 b 1 = 9.5733223454
a 1 = 0.99999193 c 2 = 18.0590169730 b 2 = 25.6329561486
a 2 = −0.24991055 c 3 = 8.6347608925 b 3 = 21.0996530827
a 3 = 0.05519968 c 4 = 0.2677737343 b 4 = 3.9584969228
a 4 = −0.00976004
a 5 = 0.00107857
A.3 Obtention du modèleM 1 de la radiothérapie à partir des équations
de Fokker-Planck et CSD
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
A.3.1
Fokker-Planck
On rappelle l’équation de Fokker-Planck
Ω.∇Ψ(x,ε,Ω) = T tot (x,ε)∆ Ω Ψ(x,ε,Ω)+∂ ε (S M (x,ε)Ψ(x,ε,Ω)) (4.4)
( 1
Lemma 1. En multipliant l’équation de Fokker-Planck par le vecteur , et en intégrant les
Ω)
deux équations obtenues selon la direction, on obtient le système :
{
∇Ψ 1 = ∂ ε (S M Ψ 0 ),
appelé modèle aux moments.
∇Ψ 2 = −2T tot Ψ 1 +∂ ε (S M Ψ 1 ),
Démonstration. Tout d’abord, on intègre l’équation (4.4) pour tous les angles Ω parcourant le
sphère unité : ∫ ∫ ∫
Ω.∇ΨdΩ = T tot ∆ Ω ΨdΩ+
∂ ε (S M Ψ) dΩ,
S
} 2 S
{{ } } 2 S
{{ } } 2 {{ }
(a) (b) (c)
où l’on écrit Ω en coordonnées sphériques :
⎛√ ⎞
√ 1−µ 2 cosϕ
Ω = ⎝ 1−µ 2 sinϕ⎠
µ
(A.17)
En intégrant par parties et grâce à la 2π-périodicité de Ψ, on voit que le terme (b) est nul. Comme
le gradient dans (a) est un opérateur spatial, on peut permuter les opérateurs :
∫ ∫
Ω.∇ΨdΩ = ∇ ΩΨdΩ = ∇Ψ 1 ,
S 2 S 2
et de la même façon, on peut permuter les opérateurs dans (c) :
∫S 2 ∂ ε (S M Ψ)dΩ = ∂ ε (S M
∫
160
S 2 ΨdΩ) = ∂ ε (S M Ψ 0 ).