Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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A.2. Précalculs du facteur d’Eddington et <strong>des</strong> opacités <strong>pour</strong> le modèle M 1 multigroupe<br />
suivante jusqu’à ce qu’elles aient toutes été parcourues.<br />
5. Si toutes les interfaces ont été enregistrées, l’algorithme est terminé. Sinon, on retourne à<br />
l’étape 3.<br />
A.2 Précalculs du facteur d’Eddington et <strong>des</strong> opacités <strong>pour</strong> le modèle<br />
M 1 multigroupe<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
A.2.1<br />
Calcul <strong>des</strong> coefficients de Ξ au sens <strong>des</strong> moindres carrés<br />
Rappel : on cherche une fonction ξ(z) de la forme :<br />
6∑<br />
ξ(z) = d ∞ −e z d i z i ,<br />
<strong>pour</strong> approcher au mieux la fonction Ξ(z) définie par :<br />
Ξ(z) =<br />
∫ z<br />
1<br />
i=0<br />
x 3<br />
e x −1 dx.<br />
Les coefficients d ∞ ,d 0 ,d 1 ,d 2 étant fixés par les contraintes sur Ξ, il reste à déterminer d 3 ,d 4 et<br />
d 6 au sens <strong>des</strong> moindres carrés.<br />
Si on pose :<br />
f(z) = − (Ξ(z)−d ∞)e z +d 0 +d 1 z +d 2 z 2 +d 3 z 3<br />
z 4 , (A.14)<br />
on est ramené au problème de minimisation :<br />
{<br />
trouver P ∈ R 2 [X] tel que :<br />
(A.15)<br />
P = min Q∈R2 [X]‖f −Q‖ L 2.<br />
On résoud ce problème <strong>avec</strong> les conditions d’orthogonalité de Petrov-Galerkin :<br />
⎧<br />
⎪⎨ < f −P,1 > L 2 = 0,<br />
< f −P,z > L 2 = 0,<br />
⎪⎩<br />
< f −P,z 2 > L 2 = 0.<br />
Soit le système :<br />
⎧<br />
z max d 4 + z max 2<br />
⎪⎨ 2<br />
z<br />
2 max<br />
d 4 + z max 3<br />
2 3<br />
⎪⎩<br />
z<br />
3 max<br />
d 4 + z max 4<br />
d 5 + z max 3<br />
d 6<br />
3<br />
= ∫ z max<br />
0<br />
f(x)dx,<br />
d 5 + z max 4<br />
d 6 = ∫ z max<br />
4<br />
0<br />
f(x)xdx,<br />
d 5 + z max 5<br />
d 6 = ∫ z max<br />
0<br />
f(x)x 2 dx.<br />
(A.16)<br />
3 4 5<br />
Il reste alors à choisir la borne supérieure d’intégration. Le choix de cette borne va définir l’intervalle<br />
sur lequel on souhaite être précis lors de l’approximation deΞ. Étant donné le comportement<br />
de la fonction, et après quelques tests <strong>numériques</strong>, on choisit de prendre z max = 12.<br />
Pour approcher le second membre du système (A.16), on choisit une méthode de quadrature d’ordre<br />
élevé <strong>avec</strong> un grand nombre de points. Finalement, après résolution, on obtient les approximations<br />
:<br />
⎧<br />
⎪⎨ d 4 = 0.06354289909759,<br />
d 5 = −0.00654100302672,<br />
⎪⎩<br />
d 6 = 2.375978179550176 10 −4 .<br />
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