Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

A.2. Précalculs du facteur d’Eddington et des opacités pour le modèle M 1 multigroupe
suivante jusqu’à ce qu’elles aient toutes été parcourues.
5. Si toutes les interfaces ont été enregistrées, l’algorithme est terminé. Sinon, on retourne à
l’étape 3.
A.2 Précalculs du facteur d’Eddington et des opacités pour le modèle
M 1 multigroupe
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
A.2.1
Calcul des coefficients de Ξ au sens des moindres carrés
Rappel : on cherche une fonction ξ(z) de la forme :
6∑
ξ(z) = d ∞ −e z d i z i ,
pour approcher au mieux la fonction Ξ(z) définie par :
Ξ(z) =
∫ z
1
i=0
x 3
e x −1 dx.
Les coefficients d ∞ ,d 0 ,d 1 ,d 2 étant fixés par les contraintes sur Ξ, il reste à déterminer d 3 ,d 4 et
d 6 au sens des moindres carrés.
Si on pose :
f(z) = − (Ξ(z)−d ∞)e z +d 0 +d 1 z +d 2 z 2 +d 3 z 3
z 4 , (A.14)
on est ramené au problème de minimisation :
{
trouver P ∈ R 2 [X] tel que :
(A.15)
P = min Q∈R2 [X]‖f −Q‖ L 2.
On résoud ce problème avec les conditions d’orthogonalité de Petrov-Galerkin :
⎧
⎪⎨ < f −P,1 > L 2 = 0,
< f −P,z > L 2 = 0,
⎪⎩
< f −P,z 2 > L 2 = 0.
Soit le système :
⎧
z max d 4 + z max 2
⎪⎨ 2
z
2 max
d 4 + z max 3
2 3
⎪⎩
z
3 max
d 4 + z max 4
d 5 + z max 3
d 6
3
= ∫ z max
0
f(x)dx,
d 5 + z max 4
d 6 = ∫ z max
4
0
f(x)xdx,
d 5 + z max 5
d 6 = ∫ z max
0
f(x)x 2 dx.
(A.16)
3 4 5
Il reste alors à choisir la borne supérieure d’intégration. Le choix de cette borne va définir l’intervalle
sur lequel on souhaite être précis lors de l’approximation deΞ. Étant donné le comportement
de la fonction, et après quelques tests numériques, on choisit de prendre z max = 12.
Pour approcher le second membre du système (A.16), on choisit une méthode de quadrature d’ordre
élevé avec un grand nombre de points. Finalement, après résolution, on obtient les approximations
:
⎧
⎪⎨ d 4 = 0.06354289909759,
d 5 = −0.00654100302672,
⎪⎩
d 6 = 2.375978179550176 10 −4 .
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