Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

ANNEXE A. APPENDICE
J p,q,l,m
ex,i
= 1 V i
∫∫
J p,q,l,m
ex,j3
= 1 ∆t
K p,q,l,m
ex,i
= 1 ∆t
K p,q,l,m
ex,j3
= 1 ∆t
M p,q,l,m
ex,i
= 1 ∆t
M p,q,l,m
ex,j3
= 1 ∆t
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
F 2 i
F 2 j3
D 2 i,1
( )
x1 (x,y)−x p (
i y1 (x,y)−y i
D 2 j3,1
D 2 i,2
D 2 j3,2
V i
V i
) q ( x−xi
V i
) l ( y −yi
V i
) m
dx dy,
( ) p ( )
t 1 (x,y)−t n+1 l ( )
2
ω 1 (x,y) q x−xi y m −yi
dx dy,
∆t V i V i
( )
x2 (x,y)−x p ( ) ( )
i y2 (x,y)−y q l
i t−t n+1 2
ω m dt dω,
V i V i ∆t
( ) p ( ) l
t 2 (t,ω)−t n+1 2
ω 2 (t,ω) q t−t n+1 2
ω m dt dω,
∆t
∆t
( )
x3 (x,y)−x p ( ) ( )
i y3 (x,y)−y q l
i t−t n+1 2
ω m dt dω,
V i V i ∆t
( ) p ( ) l
t 3 (t,ω)−t n+1 2
ω 3 (t,ω) q t−t n+1 2
ω m dt dω.
∆t
∆t
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
A.1.2
Algorithme de parcours des interfaces pour la méthode GRP espace-temps
2D
On propose ici un algorithme pour déterminer l’ordre de parcours des interfaces pour que
la solution soit toujours calculable. Pour cela, un tableau est rempli pour mémoriser l’ordre des
interfaces.
1. Premièrement, on enregistre dans le tableau toutes les interfaces I j Γ du bord Γ telles que :
−→ Ω ·−→
n
Γ
j < 0.
Sur ces interfaces, la solution est donnée par u B (x,t).
2. On parcourt ensuite toutes les cellules “à bord rentrant“, c’est-à-dire qui possèdent une des
interfaces du bord notée I j1 . Sur chacune de ces cellules, on isole le 3 eme sommet noté j1
qui ne se trouve pas sur le bord (on rappelle qu’un triangle peut avoir au plus un côté sur
le bord du domaine). On remonte alors la caractéristique issue de ce sommet j1. Si cette
caractéristique rencontre l’interface du bord I j1 en premier, soit l’interface où la solution
est connue, alors on peut calculer la solution sur les deux autres interfaces I j2 et I j3 (à
l’intérieur du domaine). On enregistre alors ces deux interfaces dans le tableau de parcours.
Sinon, on passe à la cellule “à bord rentrant“ suivante jusqu’à ce qu’elles aient toutes été
parcourues.
3. On parcourt à présent tous les triangles du maillage dont les interfaces ne sont pas toutes
enregistrées. Sur chaque cellule, si la solution est connue sur deux interfaces I j1 et I j2 , on
peut calculer la solution sur la troisième interface I j3 . On enregistre donc cette interface.
On continue cette étape jusqu’à ce que toutes les cellules ayant deux interfaces enregistrées
aient été parcourues et ainsi que leur troisième interface ait été ajoutée à la liste.
4. On parcourt de nouveau toutes les mailles dont les interfaces ne sont pas toutes enregistrées.
Sur chaque cellule, si la solution est connue sur une interface I j1 , on isole le 3 eme sommet
j1 qui n’est pas sur le segment s j1 . On remonte alors la caractéristique issue de ce sommet
j1. Si cette caractéristique rencontre l’interfaceI j1 en premier, soit l’interface où la solution
est connue, alors on peut calculer la solution sur les deux autres interfaces I j2 et I j3 . On enregistre
alors ces deux interfaces dans le tableau de parcours. Sinon, on passe à la cellule
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