Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

A.1. Schéma GRP transport en dimension 2
et finalement pour le cas deux cibles explicite :
( ) l ( )
< u h i(t n x−xi y m −yi
+∆t),
> i =
V i V i
k∑
p+q=0
=b i (l,m),
( ) l
< v n+1 t−t n+1 2
k∑
2
h
(ω j1 ), ω m > n =
∆t
p+q=0
=b j1 (l,m),
( ) l
< v n+1 t−t n+1 2
k∑
2
h
(ω j2 ), ω m > n =
∆t
où les coefficients sont donnés par :
p+q=0
=b j2 (l,m),
α n,p,q
i
J p,q,l,m
ex,i
α n,p,q
i
K p,q,l,m
ex,i
α n,p,q
i
M p,q,l,m
ex,i
+β n+1,p,q
j3
J p,q,l,m
ex,j3
+β n+1 2 ,p,q
j3
K p,q,l,m
ex,j3
+β n+1 2 ,p,q
j3
M p,q,l,m
ex,j3
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
J p,q,l,m
ex,i
= 1 ∫∫ ( )
x1 (t,ω)−x p (
i y1 (t,ω)−y i
V i F i
V i V i
J p,q,l,m
ex,j1
= 1 ∫∫ ( ) p (
t 1 (x,y)−t n+1 2
ω 1 (x,y) q x−xi
V i Fj1
1 ∆t
J p,q,l,m
ex,j2
= 1 ∫∫ (
t 2 (x,y)−t n+1 2
V i
K p,q,l,m
ex,i
K p,q,l,m
ex,j1
= 1 ∆t
K p,q,l,m
ex,j2
= 1 ∆t
D 1 j1
) q ( x−xi
V i
) l ( y −yi
V i
) m
dx dy,
V i
) l ( y −yi
V i
) m
dx dy,
) p
ω 2 (x,y) q ( x−xi
V i
) l ( y −yi
V i
) m
dx dy,
Fj2
1 ∆t
= 1 ∫∫ ( )
x2 (t,ω)−x p ( ) (
i y2 (t,ω)−y q
i
∆t D i
V i V i
∫∫ ( ) p (
t 3 (t,ω)−t n+1 2
ω 3 (t,ω) q t−t n+1 2
∆t
∆t
∫∫
D 1 j2
(
t 4 (t,ω)−t n+1 2
∆t
) p
ω 4 (t,ω) q (
t−t n+1 2
∆t
) l
ω m dt dω,
∆t
) l
ω m dt dω,
t−t n+1 2
) l
ω m dt dω,
( ) p
J p,q,l,m
im,j3
= 1 ( )
t 1 (x,y)−t
∆t
∫∫T n+1 l ( )
2
ω 1 (x,y) q x−xi y m −yi
dx dy,
i
∆t V i V i
= 1 ∫∫ ( )
x1 (x,y)−x p ( ) (
i y1 (x,y)−y q
i t−t n+1 2
∆t
V i ∆t
K p,q,l,m
im,i
K p,q,l,m
im,j3
= 1 ∆t
M p,q,l,m
im,i
= 1 ∆t
M p,q,l,m
im,j3
= 1 ∆t
∫∫
∫∫
∫∫
D 2 i,1
D 2 j3,1
D 2 i,2
D 2 j3,2
V i
) l
ω m dt dω,
( ) p ( ) l
t 2 (t,ω)−t n+1 2
ω 2 (t,ω) q t−t n+1 2
ω m dt dω,
∆t
∆t
( )
x2 (x,y)−x p ( ) ( )
i y2 (x,y)−y q l
i t−t n+1 2
ω m dt dω,
V i V i ∆t
( ) p ( ) l
t 3 (t,ω)−t n+1 2
ω 3 (t,ω) q t−t n+1 2
ω m dt dω,
∆t
∆t
157