Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

ANNEXE A. APPENDICE
et (A.11)-(A.12)-(A.13) se ramènent à la résolution des trois systèmes linéaires de taille (k+1)(k+2)
2
suivants :
k∑
p+q=0
( ) p ( )
α n+1,p,q x−xi y q ( ) l ( ) −yi x−xi y m −yi
i
<
,
> i
V i V i V i V i
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
k∑
p+q=0
k∑
p+q=0
(
=< u h x−xi
i (tn +∆t),
( ) p
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j1
< ω q t−t
,(
n+1 2
∆t ∆t
) l
ω m > n
V i
) l ( y −yi
V i
) m
> i ∀l+m = 0,...,k,
( ) l
=< v n+1 t−t n+1 2
2
h
(ω j1 ), ω m > n ∀l+m = 0,...,k,
∆t
( ) p ) l
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j2
< ω ,(
q t−t n+1 2
ω m > n
∆t ∆t
( ) l
=< v n+1 t−t n+1 2
2
h
(ω j2 ), ω m > n ∀l+m = 0,...,k.
∆t
Les matrices sont identiques pour les cas deux cibles implicite et pour le cas deux cibles explicite.
Pour les seconds membres, on a tout d’abord pour le cas une cible explicite :
( ) l ( )
< u h i(t n x−xi y m −yi
+∆t),
> i =
V i V i
k∑
p+q=0
=b i (l,m),
( ) l
< v n+1 t−t n+1 2
k∑
2
h
(ω j3 ), ω m > n =
∆t
p+q=0
=b j3 (l,m),
α n,p,q
i
J p,q,l,m
ex,i
α n,p,q
i
K p,q,l,m
ex,i
+β n+1 2 ,p,q
j1
J p,q,l,m
+β n+1 2 ,p,q
j1
K p,q,l,m
ex,j1
+β n+1,p,q
j2
ex,j1
+β n+1,p,q
j2
J p,q,l,m
ex,j2
K p,q,l,m
ex,j2
puis pour le cas deux cibles implicite :
( ) l ( )
< u h i(t n x−xi y m −yi
+∆t),
> i =
V i V i
k∑
p+q=0
=b i (l,m),
( ) l
< v n+1 t−t n+1 2
k∑
2
h
(ω j1 ), ω m > n =
∆t
< v n+1 2
h
(ω j2 ),
(
t−t n+1 2
∆t
p+q=0
=b j1 (l,m),
) l k∑
ω m > =
p+q=0
=b j2 (l,m)
β n+1,p,q
j3
J p,q,l,m
im,j3
α n,p,q
i
K p,q,l,m
im,i
α n,p,q
i
M p,q,l,m
im,i
+β n+1 2 ,p,q
j3
K p,q,l,m
im,j3
+β n+1 2 ,p,q
j3
M p,q,l,m
im,j3
156