Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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A.1. Schéma GRP transport en dimension 2<br />
Grâce aux conditions de Petrov-Galerkin, les deux problèmes de minimisation (A.1)-(A.2) peuvent<br />
se réécrire de la manière suivante :<br />
< u n+1<br />
i<br />
( ) l (<br />
−u h i(t n x−xi y −yi<br />
+∆t),<br />
V i<br />
< v n+1 2<br />
j3<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
(ω j3 ),<br />
(<br />
t−t n+1 2<br />
∆t<br />
) m<br />
> i =0 ∀l+m = 0,1,...,k, (A.9)<br />
V i<br />
) l<br />
ω m > n =0 ∀l+m = 0,1,...,k. (A.10)<br />
et (A.3)-(A.4)-(A.5) ou (A.6)-(A.7)-(A.8) par :<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
< u n+1<br />
i<br />
(<br />
−u h x−xi<br />
i (tn +∆t),<br />
< v n+1 2<br />
j1<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
(ω j1 ),<br />
< v n+1 2<br />
j2<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
(ω j2 ),<br />
) l ( ) y m −yi<br />
> i = 0 ∀l+m = 0,1,...,k, (A.11)<br />
V i V i<br />
) l<br />
ω m > n = 0 ∀l+m = 0,1,...,k. (A.12)<br />
(<br />
t−t n+1 2<br />
∆t<br />
(<br />
t−t n+1 2<br />
∆t<br />
) l<br />
ω m > n = 0 ∀l+m = 0,1,...,k. (A.13)<br />
Puis, en utilisant leurs décompositions dans leurs bases de polynômes respectives :<br />
u n+1<br />
i<br />
(x,y) =<br />
v n+1 2<br />
j1<br />
(t,ω) =<br />
v n+1 2<br />
j2<br />
(t,ω) =<br />
v n+1 2<br />
j3<br />
(t,ω) =<br />
k∑<br />
p+q=0<br />
k∑<br />
p+q=0<br />
k∑<br />
p+q=0<br />
k∑<br />
p+q=0<br />
( ) p ( )<br />
α n+1,p,q x−xi y q −yi<br />
i<br />
,<br />
V i V i<br />
( ) p<br />
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2<br />
j1<br />
ω q ,<br />
∆t<br />
( ) p<br />
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2<br />
j2<br />
ω q ,<br />
∆t<br />
( ) p<br />
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2<br />
j3<br />
ω q ,<br />
∆t<br />
les problèmes de minimisation (A.9)-(A.10) se ramènent à la résolution <strong>des</strong> deux <strong>systèmes</strong> linéaires<br />
de taille (k+1)(k+2)<br />
2<br />
suivants :<br />
k∑<br />
p+q=0<br />
k∑<br />
p+q=0<br />
( ) p ( )<br />
α n+1,p,q x−xi y q ( ) l ( ) −yi x−xi y m −yi<br />
i<br />
<<br />
,<br />
> i<br />
V i V i V i V i<br />
(<br />
=< u h x−xi<br />
i (tn +∆t),<br />
( ) p<br />
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2<br />
j3<br />
< ω q t−t<br />
,(<br />
n+1 2<br />
∆t ∆t<br />
) l<br />
ω m > n<br />
V i<br />
) l ( y −yi<br />
V i<br />
) m<br />
> i ∀l+m = 0,...,k,<br />
( ) l<br />
=< v n+1 t−t n+1 2<br />
2<br />
h<br />
(ω j3 ), ω m > n ∀l+m = 0,...,k.<br />
∆t<br />
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