Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

A.1. Schéma GRP transport en dimension 2
Grâce aux conditions de Petrov-Galerkin, les deux problèmes de minimisation (A.1)-(A.2) peuvent
se réécrire de la manière suivante :
< u n+1
i
( ) l (
−u h i(t n x−xi y −yi
+∆t),
V i
< v n+1 2
j3
−v n+1 2
h
(ω j3 ),
(
t−t n+1 2
∆t
) m
> i =0 ∀l+m = 0,1,...,k, (A.9)
V i
) l
ω m > n =0 ∀l+m = 0,1,...,k. (A.10)
et (A.3)-(A.4)-(A.5) ou (A.6)-(A.7)-(A.8) par :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
< u n+1
i
(
−u h x−xi
i (tn +∆t),
< v n+1 2
j1
−v n+1 2
h
(ω j1 ),
< v n+1 2
j2
−v n+1 2
h
(ω j2 ),
) l ( ) y m −yi
> i = 0 ∀l+m = 0,1,...,k, (A.11)
V i V i
) l
ω m > n = 0 ∀l+m = 0,1,...,k. (A.12)
(
t−t n+1 2
∆t
(
t−t n+1 2
∆t
) l
ω m > n = 0 ∀l+m = 0,1,...,k. (A.13)
Puis, en utilisant leurs décompositions dans leurs bases de polynômes respectives :
u n+1
i
(x,y) =
v n+1 2
j1
(t,ω) =
v n+1 2
j2
(t,ω) =
v n+1 2
j3
(t,ω) =
k∑
p+q=0
k∑
p+q=0
k∑
p+q=0
k∑
p+q=0
( ) p ( )
α n+1,p,q x−xi y q −yi
i
,
V i V i
( ) p
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j1
ω q ,
∆t
( ) p
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j2
ω q ,
∆t
( ) p
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j3
ω q ,
∆t
les problèmes de minimisation (A.9)-(A.10) se ramènent à la résolution des deux systèmes linéaires
de taille (k+1)(k+2)
2
suivants :
k∑
p+q=0
k∑
p+q=0
( ) p ( )
α n+1,p,q x−xi y q ( ) l ( ) −yi x−xi y m −yi
i
<
,
> i
V i V i V i V i
(
=< u h x−xi
i (tn +∆t),
( ) p
β n+1 2 ,p,q t−t n+1 2
j3
< ω q t−t
,(
n+1 2
∆t ∆t
) l
ω m > n
V i
) l ( y −yi
V i
) m
> i ∀l+m = 0,...,k,
( ) l
=< v n+1 t−t n+1 2
2
h
(ω j3 ), ω m > n ∀l+m = 0,...,k.
∆t
155