Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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ANNEXE A. APPENDICE<br />
• La solution exacte sur l’interface I n+1 2<br />
j2<br />
est donnée par :<br />
with :<br />
v n+1 2<br />
h<br />
(t,ω j2 ) =<br />
{<br />
u<br />
n<br />
i (x 2 (t,ω),y 2 (t,ω)), si (t,ω) ∈ D 2 i,2<br />
v n+1 2<br />
j3<br />
(t 3 (t,ω),ω 3 (t,ω)), si (t,ω) ∈ D 2 j3,2<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
x 2 (t,ω) = x pj2 +ω(x qj2 −x pj2 )−aΩ x (t−t n )<br />
y 2 (t,ω) = y pj2 +ω(y qj2 −y pj2 )−aΩ y (t−t n )<br />
t 3 (t,ω) = (c1 3 (y p j3<br />
−y qj3 )+c 2 3 (x q j3<br />
−x pj3 )<br />
d 3<br />
ω 3 (t,ω) = ac2 3 Ω x −ac 1 3 Ω y<br />
d 3<br />
c 1 3 = x p j2<br />
−x pj3 +ω(x qj2 −x pj2 )−aΩ x t<br />
c 2 3 = y pj2 −y pj3 +ω(y qj2 −y pj2 )−aΩ y t<br />
d 3 = aΩ x (y qj3 −y pj3 )−aΩ y (x qj3 −x pj3 )<br />
Étape de projection : Les solutions exactes sont maintenant projetées sur l’espace d’approximation<br />
P k : dans la cellule T i au temps t n+1 , la solution exacte est projetée sur P k C<br />
, et sur les<br />
interfaces I n+1 2<br />
j<br />
, la solution est projetée sur P k I<br />
. Pour le cas une cible explicite, cette projection se<br />
traduit par deux problèmes de minimisation :<br />
‖u n+1<br />
i<br />
−u h i(t n +∆t)‖ i = inf ‖p−u h i(t n +∆t)‖ i ,<br />
p∈P k C<br />
‖v n+1 2<br />
j3<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
(A.1)<br />
(ω j3 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2<br />
q∈P k h<br />
(ω j3 )‖ n , (A.2)<br />
I<br />
<strong>pour</strong> le cas deux cibles explicite, la projection se traduit par trois problèmes de minimisation :<br />
‖u n+1<br />
i<br />
−u h i (tn +∆t)‖ i = inf ‖p−u h<br />
p∈P k i (tn +∆t)‖ i ,<br />
C<br />
(A.3)<br />
‖v n+1 2<br />
j1<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
‖v n+1 2<br />
j2<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
(ω j1 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2<br />
q∈P k h<br />
(ω j1 )‖ n , (A.4)<br />
I<br />
(ω j2 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2<br />
q∈P k h<br />
(ω j2 )‖ n ., (A.5)<br />
I<br />
et <strong>pour</strong> le cas deux cibles implicite, la projection se traduit également par trois problèmes de<br />
minimisation :<br />
‖u n+1<br />
i<br />
−u h i(t n +∆t)‖ i = inf ‖p−u h i(t n+1 )‖ i ,<br />
p∈P k C<br />
(A.6)<br />
‖v n+1 2<br />
j1<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
‖v n+1 2<br />
j2<br />
−v n+1 2<br />
h<br />
(ω j1 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2<br />
q∈P k h<br />
(ω j1 )‖ n , (A.7)<br />
I<br />
(ω j2 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2<br />
q∈P k h<br />
(ω j2 )‖ n . (A.8)<br />
I<br />
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