Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

ANNEXE A. APPENDICE
• La solution exacte sur l’interface I n+1 2
j2
est donnée par :
with :
v n+1 2
h
(t,ω j2 ) =
{
u
n
i (x 2 (t,ω),y 2 (t,ω)), si (t,ω) ∈ D 2 i,2
v n+1 2
j3
(t 3 (t,ω),ω 3 (t,ω)), si (t,ω) ∈ D 2 j3,2
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
x 2 (t,ω) = x pj2 +ω(x qj2 −x pj2 )−aΩ x (t−t n )
y 2 (t,ω) = y pj2 +ω(y qj2 −y pj2 )−aΩ y (t−t n )
t 3 (t,ω) = (c1 3 (y p j3
−y qj3 )+c 2 3 (x q j3
−x pj3 )
d 3
ω 3 (t,ω) = ac2 3 Ω x −ac 1 3 Ω y
d 3
c 1 3 = x p j2
−x pj3 +ω(x qj2 −x pj2 )−aΩ x t
c 2 3 = y pj2 −y pj3 +ω(y qj2 −y pj2 )−aΩ y t
d 3 = aΩ x (y qj3 −y pj3 )−aΩ y (x qj3 −x pj3 )
Étape de projection : Les solutions exactes sont maintenant projetées sur l’espace d’approximation
P k : dans la cellule T i au temps t n+1 , la solution exacte est projetée sur P k C
, et sur les
interfaces I n+1 2
j
, la solution est projetée sur P k I
. Pour le cas une cible explicite, cette projection se
traduit par deux problèmes de minimisation :
‖u n+1
i
−u h i(t n +∆t)‖ i = inf ‖p−u h i(t n +∆t)‖ i ,
p∈P k C
‖v n+1 2
j3
−v n+1 2
h
(A.1)
(ω j3 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2
q∈P k h
(ω j3 )‖ n , (A.2)
I
pour le cas deux cibles explicite, la projection se traduit par trois problèmes de minimisation :
‖u n+1
i
−u h i (tn +∆t)‖ i = inf ‖p−u h
p∈P k i (tn +∆t)‖ i ,
C
(A.3)
‖v n+1 2
j1
−v n+1 2
h
‖v n+1 2
j2
−v n+1 2
h
(ω j1 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2
q∈P k h
(ω j1 )‖ n , (A.4)
I
(ω j2 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2
q∈P k h
(ω j2 )‖ n ., (A.5)
I
et pour le cas deux cibles implicite, la projection se traduit également par trois problèmes de
minimisation :
‖u n+1
i
−u h i(t n +∆t)‖ i = inf ‖p−u h i(t n+1 )‖ i ,
p∈P k C
(A.6)
‖v n+1 2
j1
−v n+1 2
h
‖v n+1 2
j2
−v n+1 2
h
(ω j1 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2
q∈P k h
(ω j1 )‖ n , (A.7)
I
(ω j2 )‖ n = inf ‖q −v n+1 2
q∈P k h
(ω j2 )‖ n . (A.8)
I
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