Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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A.1. Schéma GRP transport en dimension 2
j3
D 2 j3,1
θ 1
D 2 j3,2
θ 2
s j2
F j3
s j1
j2
s j1
D 2 i,1
j3
j1
s j2
D 2 i,2
j3
j1
s j3
j2
FIGURE A.3 – Solutions entrantes sur l’interface (gauche) et sur la cellule (droite) pour les cas
deux cibles implicite
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
• La solution exacte sur la cellule T i au temps t n+1 est donnée par :
avec :
u h i(x,y,t n +∆t) = v n+1 2
j3
(t 1 (x,y),ω 1 (x,y)) si (x,y) ∈ T i ,
ω 1 (x,y) = Ω x(y −y pj3 −aΩ y (t n +∆t))−Ω y (x−x pj3 −aΩ x (t n +∆t))
Ω x (y qj3 −y pj3 )−Ω y (x qj3 −x pj3 )
⎧
⎨x pj3 +ω 1 (x,y)(x qj3 −x pj3 )−x
aΩ
t 1 (x,y) =
x
+t n +∆t, si Ω x ≠ 0
⎩
+t n +∆t, sinon
y pj3 +ω 4 (x,y)(y qj3 −y pj3 )−y
aΩ y
• La solution exacte sur l’interface I n+1 2
j1
est donnée par :
avec :
v n+1 2
h
(t,ω j1 ) =
{
u
n
i (x 1 (t,ω,y 1 (t,ω)), si (t,ω) ∈ D 2 i,1
v n+1 2
j3
(t 2 (t,ω),ω 2 (t,ω)), si (t,ω) ∈ D 2 j3,1
x 1 (t,ω) = x pj1 +ω(x qj1 −x pj1 )−aΩ x (t−t n )
y 1 (t,ω) = y pj1 +ω(y qj1 −y pj1 )−aΩ y (t−t n )
t 2 (t,ω) = (c1 2 (y p j3
−y qj3 )+c 2 2 (x q j3
−x pj3 )
d 2
ω 2 (t,ω) = ac2 2 Ω x −ac 1 2 Ω y
d 2
c 1 2 = x pj1 −x pj3 +ω(x qj1 −x pj1 )−aΩ x t
c 2 2 = y p j1
−y pj3 +ω(y qj1 −y pj1 )−aΩ y t
d 2 = aΩ x (y qj3 −y pj3 )−aΩ y (x qj3 −x pj3 )
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