Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ANNEXE A. APPENDICE<br />
<strong>avec</strong> :<br />
x 1 (x,y) = x−aΩ x ∆t<br />
y 1 (x,y) = y −aΩ y ∆t<br />
ω 1 (x,y) = Ω x(y −y pj1 −aΩ y (t n +∆t))−Ω y (x−x pj1 −aΩ x (t n +∆t))<br />
Ω x (y qj1 −y pj1 )−Ω y (x qj1 −x pj1 )<br />
⎧<br />
⎨x pj1 +ω 1 (x,y)(x qj1 −x pj1 )−x<br />
aΩ<br />
t 1 (x,y) =<br />
x<br />
+t n +∆t, si Ω x ≠ 0<br />
⎩<br />
+t n +∆t, sinon<br />
y pj1 +ω 1 (x,y)(y qj1 −y pj1 )−y<br />
aΩ y<br />
ω 2 (x,y) = Ω x(y −y pj2 −aΩ y (t n +∆t))−Ω y (x−x pj2 −aΩ x (t n +∆t))<br />
Ω x (y qj2 −y pj2 )−Ω y (x qj2 −x pj2 )<br />
⎧<br />
⎨x pj2 +ω 2 (x,y)(x qj2 −x pj2 )−x<br />
aΩ<br />
t 2 (x,y) =<br />
x<br />
+t n +∆t, si Ω x ≠ 0<br />
⎩<br />
+t n +∆t, sinon<br />
y pj2 +ω 2 (x,y)(y qj2 −y pj2 )−y<br />
aΩ y<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
• La solution exacte sur l’interface I n+1 2<br />
j3<br />
est donnée par :<br />
<strong>avec</strong> :<br />
v n+1 2<br />
h<br />
(t,ω j3 ) =<br />
⎧<br />
u ⎪⎨<br />
n i (x 2(t,ω),y 2 (t,ω)),<br />
v n+1 2<br />
j1<br />
(t 3 (t,ω),ω 3 (t,ω)),<br />
⎪⎩<br />
v n+1 2<br />
j2<br />
(t 4 (t,ω),ω 4 (t,ω)),<br />
si (t,ω) ∈ D i<br />
si (t,ω) ∈ D 1 j1<br />
si (t,ω) ∈ D 1 j2<br />
x 2 (t,ω) = x pj3 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x (t−t n )<br />
y 2 (t,ω) = y pj3 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y (t−t n )<br />
t 3 (t,ω) = (c1 3 (y p j1<br />
−y qj1 )+c 2 3 (x q j1<br />
−x pj1 )<br />
d 3<br />
ω 3 (t,ω) = ac2 3 Ω x −ac 1 3 Ω y<br />
d 3<br />
c 1 3 = x p j3<br />
−x pj1 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x t<br />
c 2 3 = y pj3 −y pj1 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y t<br />
d 3 = aΩ x (y qj1 −y pj1 )−aΩ y (x qj1 −x pj1 )<br />
t 4 (t,ω) = (c1 4 (y p j2<br />
−y qj2 )+c 2 4 (x q j2<br />
−x pj2 )<br />
d 4<br />
ω 4 (t,ω) = ac2 4 Ω x −ac 1 4 Ω y<br />
d 4<br />
c 1 4 = x pj3 −x pj2 +ω(x qj3 −x pj3 )−aΩ x t<br />
c 2 4 = y p j3<br />
−y pj2 +ω(y qj3 −y pj3 )−aΩ y t<br />
d 4 = aΩ x (y qj2 −y pj2 )−aΩ y (x qj2 −x pj2 )<br />
Cas deux cibles (implicite) :<br />
• la solutionu n i (x,y) est connue dans la celluleT i au tempst n ainsi que la solutionv n+1 2<br />
j3<br />
(t,ω)<br />
sur l’interface I n+1 2<br />
j3<br />
.<br />
• On définit θ 3 comme l’intersection entre la droite caractéristique issue du segment s n j3<br />
segment [t n ,t n+1 ] <strong>pour</strong> (x,y) = (x j3 ,y j3 ) (voir figure A.3).<br />
152<br />
et du