Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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A.1. Schéma GRP transport en dimension 2
θ 2 θ 1
• •
D 1 j2
D 1 j1
j3
D i
s j2
θ 3
s j1
F 1 j2
F i
F 1 j1
j1
• •
s j3
M 2 M 1
j2
j1
• •
s j3
M 2 M 1
j2
FIGURE A.2 – Solutions entrantes sur l’interface (gauche) et sur la cellule (droite) pour les cas une
cible explicite
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
avec :
x 3 (t,ω) = x pj2 +ω(x qj2 −x pj2 )−aΩ x (t−t n )
y 3 (t,ω) = y pj2 +ω(y qj2 −y pj2 )−aΩ y (t−t n )
t 3 (t,ω) = c1 3 (y p j3
−y qj3 )+c 2 3 (x q j3
−x pj3 )
d 3
ω 3 (t,ω) = ac2 3 Ω x −ac 1 3 Ω y
d 3
c 1 3 = x pj2 −x pj3 +ω(x qj2 −x pj2 )−aΩ x t
c 2 3 = y p j2
−y pj3 +ω(y qj2 −y pj2 )−aΩ y t
d 3 = aΩ x (y qj3 −y pj3 )−aΩ y (x qj3 −x pj3 )
Cas une cible (explicite) :
• la solutionu n i (x,y) est connue dans la celluleT i au tempst n ainsi que les solutionsv n+1 2
j1
(t,ω)
et v n+1 2
j2
(t,ω) sur les interfaces I n+1 2
j1
et I n+1 2
j2
.
• On définit θ 1 comme l’intersection entre la droite caractéristique issue du segment s n j1
et du segment s n+1
j3
(i.e. tel que d(s n j3 ,sn j1 ) = a∆t). On définit également θ 2 comme
l’intersection de la droite caractéristique issue de s n j2 et du segment sn+1
j3
(i.e. tel que
d(s n j3 ,sn j2 ) = a∆t). Puis, on note M 1 la projection de θ 1 sur s n j3 et M 2 la projection de
θ 2 sur s n j3 (voir figure A.2).
• La solution exacte sur la cellule T i au temps t n+1 est donnée par :
⎧
u ⎪⎨
n i (x 1(x,y),y 1 (x,y)),
u h i(x,y,t n +∆t) = v n+1 2
j1
(t 1 (x,y),ω 1 (x,y)),
⎪⎩
v n+1 2
j2
(t 2 (x,y),ω 2 (x,y)),
si (x,y) ∈ F i
si (x,y) ∈ F 1 j1
si (x,y) ∈ F 1 j2
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