Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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•<br />
A.1. Schéma GRP transport en dimension 2<br />
θ 2 θ 1<br />
• •<br />
D 1 j2<br />
D 1 j1<br />
j3<br />
D i<br />
s j2<br />
θ 3<br />
s j1<br />
F 1 j2<br />
F i<br />
F 1 j1<br />
j1<br />
• •<br />
s j3<br />
M 2 M 1<br />
j2<br />
j1<br />
• •<br />
s j3<br />
M 2 M 1<br />
j2<br />
FIGURE A.2 – Solutions entrantes sur l’interface (gauche) et sur la cellule (droite) <strong>pour</strong> les cas une<br />
cible explicite<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
<strong>avec</strong> :<br />
x 3 (t,ω) = x pj2 +ω(x qj2 −x pj2 )−aΩ x (t−t n )<br />
y 3 (t,ω) = y pj2 +ω(y qj2 −y pj2 )−aΩ y (t−t n )<br />
t 3 (t,ω) = c1 3 (y p j3<br />
−y qj3 )+c 2 3 (x q j3<br />
−x pj3 )<br />
d 3<br />
ω 3 (t,ω) = ac2 3 Ω x −ac 1 3 Ω y<br />
d 3<br />
c 1 3 = x pj2 −x pj3 +ω(x qj2 −x pj2 )−aΩ x t<br />
c 2 3 = y p j2<br />
−y pj3 +ω(y qj2 −y pj2 )−aΩ y t<br />
d 3 = aΩ x (y qj3 −y pj3 )−aΩ y (x qj3 −x pj3 )<br />
Cas une cible (explicite) :<br />
• la solutionu n i (x,y) est connue dans la celluleT i au tempst n ainsi que les solutionsv n+1 2<br />
j1<br />
(t,ω)<br />
et v n+1 2<br />
j2<br />
(t,ω) sur les interfaces I n+1 2<br />
j1<br />
et I n+1 2<br />
j2<br />
.<br />
• On définit θ 1 comme l’intersection entre la droite caractéristique issue du segment s n j1<br />
et du segment s n+1<br />
j3<br />
(i.e. tel que d(s n j3 ,sn j1 ) = a∆t). On définit également θ 2 comme<br />
l’intersection de la droite caractéristique issue de s n j2 et du segment sn+1<br />
j3<br />
(i.e. tel que<br />
d(s n j3 ,sn j2 ) = a∆t). Puis, on note M 1 la projection de θ 1 sur s n j3 et M 2 la projection de<br />
θ 2 sur s n j3 (voir figure A.2).<br />
• La solution exacte sur la cellule T i au temps t n+1 est donnée par :<br />
⎧<br />
u ⎪⎨<br />
n i (x 1(x,y),y 1 (x,y)),<br />
u h i(x,y,t n +∆t) = v n+1 2<br />
j1<br />
(t 1 (x,y),ω 1 (x,y)),<br />
⎪⎩<br />
v n+1 2<br />
j2<br />
(t 2 (x,y),ω 2 (x,y)),<br />
si (x,y) ∈ F i<br />
si (x,y) ∈ F 1 j1<br />
si (x,y) ∈ F 1 j2<br />
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