Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

A
Appendice
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
A.1 Appendice 1 : schéma GRP espace-temps pour l’équation de
transport en dimension 2
A.1.1
Étape d’évolution et de projection dans les cas deux cibles explicite, deux
cibles implicite et une cible explicite
Étape d’évolution :
Cas deux cibles (explicite) :
• la solutionu n i (x,y) est connue dans la celluleT i au tempst n ainsi que la solutionv n+1 2
j3
(t,ω)
sur l’interface I n+1 2
j3
.
• On définit θ 1 comme l’intersection entre la droite caractéristique issue du segment s n j3 et
du segment s n+1
j1 . On définit également θ 2 comme l’intersection de la droite caractéristique
issue de s n j3 et du segment sn+1
j2 . Puis, on note M 1 la projection de θ 1 sur s n j1 et M 2 la
projection de θ 2 sur s n j2 (voir figure A.1).
• La solution exacte sur la cellule T i au temps t n+1 est donnée par :
u h i(x,y,t n +∆t) =
{
u
n
i (x 1 (x,y),y 1 (x,y)), si (x,y) ∈ F 2 i
v n+1 2
j3
(t 1 (x,y),ω 1 (x,y)),
où t 1 ,x 1 et x 2 sont les changements de variables suivants :
x 1 (x,y) = x−aΩ x ∆t
y 1 (x,y) = y −aΩ y ∆t
si (x,y) ∈ F 2 j3
ω 1 (x,y) = Ω x(y −y pj3 −aΩ y (t n +∆t))−Ω y (x−x pj3 −aΩ x (t n +∆t))
Ω x (y qj3 −y pj3 )−Ω y (x qj3 −x pj3 )
⎧
⎨x pj3 +ω 1 (x,y)(x qj3 −x pj3 )−x
aΩ
t 1 (x,y) =
x
+t n +∆t, si Ω x ≠ 0
⎩
+t n +∆t, sinon
y pj3 +ω 1 (x,y)(y qj3 −y pj3 )−y
aΩ y
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