Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 5. RÉSULTATS NUMÉRIQUES
1e+10
’../Kr/K_Kr_T76350.dat’ u 1:3
1e+08
1e+06
10000
100
1
0.01
0.0001
1e-06
1e+10 1e+11 1e+12 1e+13 1e+14 1e+15 1e+16 1e+17 1e+18 1e+19 1e+20
FIGURE 5.9 – Spectre du Krypton à T = 76360K
grâce à la base de données ODALISC [102]. On dispose de l’opacité d’absorption sur un large
spectre de fréquences 2.5.10 10 m −1 −2.5.10 19 m −1 pour plusieurs températures matière (de 1eV
à20eV , soit environ de11800K à245000K). En observant ce spectre représenté sur la figure 5.9,
on choisit de le diviser en 6 groupes de fréquences [ν q ;ν q+1 ] 1≤q≤6 :
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
ν 1 = 1.10 13 m −1 ; ν 2 = 3.5.10 14 m −1 , ν 3 = 3.10 15 m −1 , ν 4 = 6.10 15 m −1 ,
ν 5 = 9.10 15 m −1 , ν 6 = 4.6.10 16 m −1 , ν 7 = 5.10 17 m −1 .
Lors de la procédure de précalculs des moyennes d’opacités, la température matière a été supposée
constante. Pour améliorer le coût de calcul et puisque les variations de l’opacité sont assez
régulières en température, on considère qu’elle varie de manière polynomiale au cours du temps.
En pratique, les coefficients sont calculés au sens des moindres carrés.
Pour le premier cas-test, on prend un domaine rectangulaire de taille 7m × 5m avec un obstacle
carré au centre discrétisé par 9829 cellules (19243 triangles). Sur le bord gauche, on impose
un gradient de température radiative TR L, ainsi qu’un flux entrant fL x et sur les autres bords, des
conditions de Neumann homogènes. Sur l’obstacle, on impose des conditions de mur. Au temps
initial, on suppose que l’on est à l’équilibre radiatif, c’est-à-dire que la température radiative et la
température matière sont égales et que l’énergie est répartie suivant la loi de Planck :
T 0 = T 0 R = 30000K, f 0 x = f 0 y = 0,
T L = 30000K, T L R = 90000K, fL x = 0.8,fL y = 0.
Sur la figure 5.10, on compare les facteurs d’anisotropie dans les groupes de fréquences 2,3,5
et 6 au bout d’un temps t = 3.17.10 −8 s pour un coefficient ρC v = 10 −2 J.kg.m −3 .K −1 . On
voit que le comportement du facteur d’anisotropie est différent suivant les groupes de fréquences
considérés. Par exemple, dans les groupes 2 et 6 qui sont quasi-transparents, c’est le phénomène
de transport qui prédomine. À l’inverse, dans les groupes 3 et 5 qui sont plus opaques, la diffusion
est dominante. Dans ce genre de cas-test, le modèle gris donnerait une approximation moyennée
alors que le comportement de la solution est différent suivant le groupe considéré. Ceci illustre
l’intérêt de préférer une discrétisation fréquentielle en groupes de fréquences plutôt qu’un modèle
totalement intégré en fréquences.
Sur la figure 5.11, on compare les facteurs d’anisotropie dans le groupe6 et la température matière
au bout d’un tempst = 1.58.10 −6 s pourρC v = 10 −2 J.kg.m −3 .K −1 etρC v = 10 −3 J.kg.m −3 .K −1 .
On voit que plus ρC v est grand, plus l’équilibre met de temps à s’installer.
Pour le deuxième cas-test, on considère la géométrie dite du tophat, soit un tuyau cylindrique
coudé éclairé sur le bord gauche. Plus précisément, le domaine de calcul s’étend sur x ∈ [0,7]m
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