Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

5.2. Résultats en dimension 2
5.2 Résultats en dimension 2
5.2.1 Schéma GRP espace-temps pour l’équation d’advection
Modèle d’ordonnées discrètes S N
Ce cas-test illustre le comportement de la méthode GRP espace-temps en dimension deux pour le
modèle d’ordonnées discrètes S N :
∂ t I j +cΩ j .∇ x I j = cσ(aT 4 −I j ), pour j = 1...N.
Comme en dimension un, le terme source a été pris en compte en considérant un splitting de
Strang. Dans ce but, on ne considère toujours que les premiers moments de la solution dans chaque
cellule.
L’énergie radiative E = ∑ j I jω j est calculée avec : N = 16, λ = 4, E(x,t = 0) = 0 et
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
FIGURE 5.8 – Énergie radiative àt = 1.3 pour σ = 0.1(gauche) et σ = 5 (droite).
aT 4 = 0.01 sur un maillage composé de 15167 triangles discrétisant un domaine hexagonal.
Deux rayons entrent dans le domaine avec une énergie égale à 1 et deux autres rayons avec une
énergie égale à 0.5. Sur la figure 5.8, les approximations sont obtenues pour σ = 0.1 et σ = 5
pour k = 1 (degré des polynômes), ce qui correspond à un splitting de Strang d’ordre deux.
On voit clairement que même avec k = 1 et λ = 4, la diffusion numérique est négligeable dans la
direction transverse des rayons.
5.2.2 Schéma préservant l’asymptotique pour le modèleM 1 multigroupe
On propose à présent un cas-test pour illustrer le schéma préservant l’asymptotique pour le
modèleM 1 multigroupe et les précalculs des opacités développés dans le chapitre 3. On considère
des volumes finis vertex centered. Pour cela, on prend le maillage dual d’un maillage triangulaire.
Dans le paragraphe 3.2.4, on a développé une correction asymptotique permettant de retrouver
numériquement le régime limite du modèle à condition d’avoir un maillage admissible ou une
reconstruction du gradient de la solution sur chaque interface. En pratique, le maillage n’est pas
complètement admissible, mais les angles (x K x L
ˆ,KL) sont presque des angles droits. Par souci
de simplicité on utilise ici la correction asymptotique pour les maillages admissibles. Ainsi, à la
limite, le schéma sera consistant mais pas d’ordre 1.
Le domaine de calcul est rempli de krypton. L’opacité correspondante de ce gaz a été obtenue
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