Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

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CHAPITRE 5. RÉSULTATS NUMÉRIQUES dans le paragraphe 1.2 auquel on ajoute de la diffusion thermique : ( 4aT ∂ t (aT 4 3 ) c +ρC v T)−∇ ∇T = ∂ x (λ c ∂ x T). (5.1) 3σ˜ ν tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 Ce modèle n’est donc a priori valide que dans la limite de diffusion, c’est-à-dire quand σt est grand, or en laboratoire, les expériences consistent à envoyer un rayon laser sur le matériau afin d’en mesurer les propriétés thermiques. Mais la forte anisotropie du rayon incident est incompatible avec le régime de diffusion. Pour obtenir des résultats plus précis, on compare alors cette méthode avec le schéma GRP espace-temps pour le modèle d’ordonnées discrètes du transfert radiatif couplé avec une équation sur l’énergie matière donné par 2.32. Ici, il est raisonnable de choisir des pas de temps élevés pour capter les phénomènes très lents en jeu. On s’intéresse ici à une zone de un matériau de longueur 5.10 −3 m discrétisée par100 mailles, soit un pas d’espace ∆x = 5.10 −5 m. Le matériau a une densité ρ = 240 kg.m −3 , une opacité σ = 7700 m −1 , une conductivité thermique λ c (T) = 0.2 + 3.5.10 −11 T 3 et une capacité thermique C p (T) donnée. Le pas de temps considéré ici est ∆t = 10 −4 . Pour comparaison, si l’on impose λ = 1 (soit une CFL explicite), le pas de temps correspondant est ∆t ≃ 1.7.10 −13 s, soit environ 6.10 8 fois plus petit que le pas de temps considéré. Encore une fois, ce pas de temps n’est raisonnable qu’au vu de la lenteur du phénomène qui n’avance que d’une ou deux mailles par pas de temps. LesN directions considérées sont les racines du N ième polynôme de Legendre. Dans tout le domaine, la température initiale du matériau est deT init = 300K et on considère une donnée à l’équilibre radiatif avec E R = aTinit 4 et F R = 0. On étudie deux cas. Tout d’abord, afin de recréer les conditions expérimentales, on considère un rayon entrant dans la direction µ = 1 avec une énergie E(t) croissante : E(µ = 1,t) = aT 4 init +min(1,10t)(aT 4 max −aT 4 init), (5.2) et un facteur d’anisotropie f = 1 dans cette direction. Puis, pour recréer ce qui se passe lors de la rentrée atmosphérique, on suppose qu’on est à l’équilibre radiatif à gauche du domaine avec une énergie donnée par : E(t) = aT 4 init +min(1,10t)(aT 4 max −aT 4 init). (5.3) On prendra ici T max = 3600 K. Dans les deux cas, on impose des conditions aux limites de type Neumann sur le bord droit. Pour déterminer dans un premier temps le nombre de directions optimal pour les simulations, on compare les résultats obtenus avec différents N dans le cas d’un rayon. Sur la figure 5.3, on représente la température radiative obtenue au bout d’un temps t = 1s. On observe que la différence entre 32 et 64 directions est très faible par rapport aux autres choix de N. Dans la suite, on considèrera ainsi que 64 directions suffisent à obtenir une bonne approximation de la solution. Parallèlement, on a comparé les approximations en fonction du degré des polynômes k pour en conclure qu’à partir dek = 4, la solution ne change quasiment plus pour le∆t choisi. On choisira donc k = 4 dans la suite pour comparer les différents modèles. On peut à présent comparer les résultats donnés par le schéma GRP espace-temps pour le modèle d’ordonnées discrètes et un schéma d’ordre 2 différences finies standard pour le modèle de diffusion à l’équilibre. Pour le modèle de diffusion, on considère un pas de temps∆t = 1.9.10 −6 s. 138
5.1. Résultats en dimension 1 4500 4000 ’./Temp_R.8_4’ ’./Temp_R.10_4’ ’./Temp_R.16_4’ ’./Temp_R.20_4’ ’./Temp_R.32_4’ ’./Temp_R.64_4’ 4100 ’./Temp_R.8_4’ ’./Temp_R.10_4’ ’./Temp_R.16_4’ ’./Temp_R.20_4’ ’./Temp_R.32_4’ ’./Temp_R.64_4’ 3500 3000 4050 2500 4000 2000 1500 3950 1000 500 3900 0 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005 5e-05 0.0001 0.00015 0.0002 FIGURE 5.3 – Comparaison de la température radiative pour différents nombres de directions (gauche) et températures zoomées (droite) àt = 1s. tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013 Solutions à t = 0.1 s Sur la figure 5.4, on compare la température matière donnée par deux méthodes (temp_D pour le modèle de diffusion, temp_M pour le modèle S N ) pour le cas d’un rayon au bout de t = 0.1s ainsi que la température radiative (temp_R) donnée par la méthode GRP espace-temps pour le modèle S N . On rappelle que le modèle de diffusion n’est pas capable de gérer un rayon, c’est pourquoi l’on impose une énergie croissante (5.3) sur le bord gauche. On représente également le facteur d’anisotropie f = ‖F R‖ E R obtenu par le modèle S N . Puis sur la figure 5.5, on compare les deux méthodes pour le cas de l’équilibre et on trace également le facteur d’anisotropie du modèle S N . 4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 ’./Temp_R.64_4’ ’./Temp_M.64_4’ ’./Temp_D’ 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 ’./Facteur_anisotropie’ 0 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005 0 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0.004 0.0045 0.005 FIGURE 5.4 – Températures radiative et matière (gauche) et facteur d’anisotropie (droite) à t = 0.1 s pour un rayon. Sans surprise, on constate que l’équilibre radiatif est loin d’être atteint sur le bord du domaine. Le modèle de diffusion n’est donc pas adapté et on observe des écarts de température matière superficielle entre les 2 modèles. Ce constat s’applique même dans le cas où la condition aux limites est à l’équilibre radiatif : on voit apparaître des facteurs d’anisotropie très élevés de l’ordre de 0.75. Solutions à t = 1s Sur la figure 5.6, on compare les deux modèles pour le cas d’un rayon et sur la figure 5.6, dans le cas de l’équilibre àt = 1s. 139
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Thèse de Doctorat Mémoire présen
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Remerciements Pour compléter le co
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2 Schémas numériques pour le mod
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