Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 5. RÉSULTATS NUMÉRIQUES
dans le paragraphe 1.2 auquel on ajoute de la diffusion thermique :
( 4aT
∂ t (aT 4 3 )
c
+ρC v T)−∇ ∇T = ∂ x (λ c ∂ x T). (5.1)
3σ˜
ν
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Ce modèle n’est donc a priori valide que dans la limite de diffusion, c’est-à-dire quand σt est
grand, or en laboratoire, les expériences consistent à envoyer un rayon laser sur le matériau afin
d’en mesurer les propriétés thermiques. Mais la forte anisotropie du rayon incident est incompatible
avec le régime de diffusion. Pour obtenir des résultats plus précis, on compare alors cette
méthode avec le schéma GRP espace-temps pour le modèle d’ordonnées discrètes du transfert
radiatif couplé avec une équation sur l’énergie matière donné par 2.32. Ici, il est raisonnable de
choisir des pas de temps élevés pour capter les phénomènes très lents en jeu.
On s’intéresse ici à une zone de un matériau de longueur 5.10 −3 m discrétisée par100 mailles,
soit un pas d’espace ∆x = 5.10 −5 m. Le matériau a une densité ρ = 240 kg.m −3 , une opacité
σ = 7700 m −1 , une conductivité thermique λ c (T) = 0.2 + 3.5.10 −11 T 3 et une capacité thermique
C p (T) donnée. Le pas de temps considéré ici est ∆t = 10 −4 . Pour comparaison, si l’on
impose λ = 1 (soit une CFL explicite), le pas de temps correspondant est ∆t ≃ 1.7.10 −13 s, soit
environ 6.10 8 fois plus petit que le pas de temps considéré. Encore une fois, ce pas de temps n’est
raisonnable qu’au vu de la lenteur du phénomène qui n’avance que d’une ou deux mailles par pas
de temps.
LesN directions considérées sont les racines du N ième polynôme de Legendre.
Dans tout le domaine, la température initiale du matériau est deT init = 300K et on considère une
donnée à l’équilibre radiatif avec E R = aTinit 4 et F R = 0.
On étudie deux cas. Tout d’abord, afin de recréer les conditions expérimentales, on considère un
rayon entrant dans la direction µ = 1 avec une énergie E(t) croissante :
E(µ = 1,t) = aT 4
init +min(1,10t)(aT 4 max −aT 4
init), (5.2)
et un facteur d’anisotropie f = 1 dans cette direction.
Puis, pour recréer ce qui se passe lors de la rentrée atmosphérique, on suppose qu’on est à l’équilibre
radiatif à gauche du domaine avec une énergie donnée par :
E(t) = aT 4
init +min(1,10t)(aT 4 max −aT 4
init). (5.3)
On prendra ici T max = 3600 K. Dans les deux cas, on impose des conditions aux limites de type
Neumann sur le bord droit.
Pour déterminer dans un premier temps le nombre de directions optimal pour les simulations,
on compare les résultats obtenus avec différents N dans le cas d’un rayon. Sur la figure 5.3, on
représente la température radiative obtenue au bout d’un temps t = 1s.
On observe que la différence entre 32 et 64 directions est très faible par rapport aux autres choix
de N. Dans la suite, on considèrera ainsi que 64 directions suffisent à obtenir une bonne approximation
de la solution.
Parallèlement, on a comparé les approximations en fonction du degré des polynômes k pour en
conclure qu’à partir dek = 4, la solution ne change quasiment plus pour le∆t choisi. On choisira
donc k = 4 dans la suite pour comparer les différents modèles.
On peut à présent comparer les résultats donnés par le schéma GRP espace-temps pour le modèle
d’ordonnées discrètes et un schéma d’ordre 2 différences finies standard pour le modèle de
diffusion à l’équilibre. Pour le modèle de diffusion, on considère un pas de temps∆t = 1.9.10 −6 s.
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