Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 5. RÉSULTATS NUMÉRIQUES<br />
dans le paragraphe 1.2 auquel on ajoute de la diffusion thermique :<br />
( 4aT<br />
∂ t (aT 4 3 )<br />
c<br />
+ρC v T)−∇ ∇T = ∂ x (λ c ∂ x T). (5.1)<br />
3σ˜<br />
ν<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Ce modèle n’est donc a priori valide que dans la limite de diffusion, c’est-à-dire quand σt est<br />
grand, or en laboratoire, les expériences consistent à envoyer un rayon laser sur le matériau afin<br />
d’en mesurer les propriétés thermiques. Mais la forte anisotropie du rayon incident est incompatible<br />
<strong>avec</strong> le régime de diffusion. Pour obtenir <strong>des</strong> résultats plus précis, on compare alors cette<br />
méthode <strong>avec</strong> le schéma GRP espace-temps <strong>pour</strong> le modèle d’ordonnées discrètes du transfert<br />
radiatif couplé <strong>avec</strong> une équation sur l’énergie matière donné par 2.32. Ici, il est raisonnable de<br />
choisir <strong>des</strong> pas de temps élevés <strong>pour</strong> capter les phénomènes très lents en jeu.<br />
On s’intéresse ici à une zone de un matériau de longueur 5.10 −3 m discrétisée par100 mailles,<br />
soit un pas d’espace ∆x = 5.10 −5 m. Le matériau a une densité ρ = 240 kg.m −3 , une opacité<br />
σ = 7700 m −1 , une conductivité thermique λ c (T) = 0.2 + 3.5.10 −11 T 3 et une capacité thermique<br />
C p (T) donnée. Le pas de temps considéré ici est ∆t = 10 −4 . Pour comparaison, si l’on<br />
impose λ = 1 (soit une CFL explicite), le pas de temps correspondant est ∆t ≃ 1.7.10 −13 s, soit<br />
environ 6.10 8 fois plus petit que le pas de temps considéré. Encore une fois, ce pas de temps n’est<br />
raisonnable qu’au vu de la lenteur du phénomène qui n’avance que d’une ou deux mailles par pas<br />
de temps.<br />
LesN directions considérées sont les racines du N ième polynôme de Legendre.<br />
Dans tout le domaine, la température initiale du matériau est deT init = 300K et on considère une<br />
donnée à l’équilibre radiatif <strong>avec</strong> E R = aTinit 4 et F R = 0.<br />
On étudie deux cas. Tout d’abord, afin de recréer les conditions expérimentales, on considère un<br />
rayon entrant dans la direction µ = 1 <strong>avec</strong> une énergie E(t) croissante :<br />
E(µ = 1,t) = aT 4<br />
init +min(1,10t)(aT 4 max −aT 4<br />
init), (5.2)<br />
et un facteur d’anisotropie f = 1 dans cette direction.<br />
Puis, <strong>pour</strong> recréer ce qui se passe lors de la rentrée atmosphérique, on suppose qu’on est à l’équilibre<br />
radiatif à gauche du domaine <strong>avec</strong> une énergie donnée par :<br />
E(t) = aT 4<br />
init +min(1,10t)(aT 4 max −aT 4<br />
init). (5.3)<br />
On prendra ici T max = 3600 K. Dans les deux cas, on impose <strong>des</strong> conditions aux limites de type<br />
Neumann sur le bord droit.<br />
Pour déterminer dans un premier temps le nombre de directions optimal <strong>pour</strong> les simulations,<br />
on compare les résultats obtenus <strong>avec</strong> différents N dans le cas d’un rayon. Sur la figure 5.3, on<br />
représente la température radiative obtenue au bout d’un temps t = 1s.<br />
On observe que la différence entre 32 et 64 directions est très faible par rapport aux autres choix<br />
de N. Dans la suite, on considèrera ainsi que 64 directions suffisent à obtenir une bonne approximation<br />
de la solution.<br />
Parallèlement, on a comparé les approximations en fonction du degré <strong>des</strong> polynômes k <strong>pour</strong> en<br />
conclure qu’à partir dek = 4, la solution ne change quasiment plus <strong>pour</strong> le∆t choisi. On choisira<br />
donc k = 4 dans la suite <strong>pour</strong> comparer les différents modèles.<br />
On peut à présent comparer les résultats donnés par le schéma GRP espace-temps <strong>pour</strong> le modèle<br />
d’ordonnées discrètes et un schéma d’ordre 2 différences finies standard <strong>pour</strong> le modèle de<br />
diffusion à l’équilibre. Pour le modèle de diffusion, on considère un pas de temps∆t = 1.9.10 −6 s.<br />
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