Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

5.1. Résultats en dimension 1
6
Reference Solution
5.5
k=0
k=1
k=2
5
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
−3 −2 −1 0 1 2 3
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
FIGURE 5.2 – Cas-test S N : solutions àt = 2.5 avec λ = 16 pour k = 0,1,2.
Sur la figure 5.2, on représente l’énergie radiative E R (x,t) = 2π ∑ j I jω j correspondant à des
directions µ j équiréparties sur [−1,1] et obtenue avec les données suivantes :
aT 4 (x) = e −20x2 ,
σ(x) = e −20x2 ,
I j (x,t = 0) = 10 −2 ,
I 1 (x = −3,t) = 0.3(1−e −t )/ω 1 , I N (x = 3,t) = (1−e −t )/ω N ,
les conditions aux limites restantes étant de type Neumann. De plus, on prend N = 16 et λ = 16.
En effet, comme on doit utiliser le même pas de temps pour tout le système, cela signifie que λ
est maximal égal à 16 (quand µ = ±1) mais est petit dans les autres directions. Sur la figure 5.2,
on observe qu’il y a une grande différence entre la solution de référence obtenue avec k = 2 et
16000 points et l’approximation d’ordre un (k = 0) avec 256 points. Le schéma d’ordre deux
(k = 1) donne une meilleure approximation. De plus, si l’on considère des polynômes de degré 2,
la solution est encore améliorée sachant que le schéma n’est que d’ordre deux à cause du traitement
du terme source par splitting de Strang.
5.1.2 Schéma GRP espace-temps pour le modèle d’ordonnées discrètes
Contrairement au paragraphe précécent où l’on a utilisé une méthode de splitting pour discrétiser
le terme source, on considère dans ce paragraphe le schéma GRP espace-temps discrétisant
le modèle d’ordonnées discrètes complet. Ce cas-test a été présenté dans [45]. On s’intéresse ici
aux transferts de chaleur dans un bouclier de protection thermique pour une sonde spatiale. Ce
bouclier est composé d’un matériau poreux de type PICA, mis au point par la NASA dans les
années 1990. Pour déterminer ses propriétés thermiques, les méthodes utilisées jusqu’à présent
consistent à résoudre des problèmes inverses sur une physique très simplifiée en l’occurrence, en
utilisant le modèle de diffusion à l’équilibre présenté dans le paragraphe 1.4.3 à laquelle on ajoute
de la diffusion thermique. Du fait de ces simplifications, les résultats sont ne sont pas toujours
précis. On peut assimiler le modèle physique utilisé au modèle de diffusion à l’équilibre décrit
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