Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 5. RÉSULTATS NUMÉRIQUES<br />
0.5<br />
0.4<br />
exact solution<br />
k=3<br />
0.3<br />
k=2<br />
k=1<br />
0.2<br />
k=0<br />
0.1<br />
0<br />
−0.1<br />
−0.2<br />
−0.3<br />
−0.4<br />
−0.5<br />
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
FIGURE 5.1 – Cas-test de Maxwell : solutions àt = 1 <strong>avec</strong> λ = 5 <strong>pour</strong> k = 0,1,2,3.<br />
La principale difficulté ici vient du fait que la solution est entièrement déterminée par la condition<br />
limite gauche qui dépend du temps et oscille fortement. Sur la figure 5.1, on compare les résultats<br />
<strong>pour</strong> k = 0,1,2,3 <strong>avec</strong> 256 points et λ = 5 <strong>avec</strong> la solution exacte.<br />
On remarque que la méthode d’ordre un n’est pas du tout capable de reproduire le comportement<br />
de la solution exacte. Dans ce cas oùλ = 5, la diffusion numérique devient prédominante. D’autre<br />
part, à partir dek = 2, la solution est bien préservée par le schéma. En effet, dans ce cas particulier<br />
où la condition limite dépend fortement du temps, en considérant une approximation d’ordre k+1<br />
sur les interfaces, on améliore largement l’approximation au niveau de la condition aux limites.<br />
Modèle d’ordonnées discrètes S N du transfert radiatif<br />
Dans ce cas-test, on veut montrer que le schéma GRP espace-temps <strong>pour</strong> l’équation d’advection<br />
peut être facilement couplé <strong>avec</strong> une méthode numérique adaptée <strong>pour</strong> intégrer le <strong>terme</strong> source.<br />
On considère <strong>pour</strong> cela le modèle d’ordonnées discrètes S N du transfert radiatif présenté dans le<br />
paragraphe 1.3 intégré sur tout le spectre de fréquences :<br />
∂ t I j +cµ j ∂ x I j = cσ(aT 4 −I j ), <strong>pour</strong> j = 1...N,<br />
où µ j ∈ [−1,1] est la direction de propagation, N est le nombre total de directions considérées et<br />
c = 1 est la vitesse normalisée. D’un point de vue numérique, on considère un splitting de Strang<br />
<strong>pour</strong> prendre en compte le <strong>terme</strong> source. Pour simplifier, on ne considèrera que les premiers momentsα<br />
n,0<br />
i<br />
lorsqu’on traitera le <strong>terme</strong> source. Cette technique est d’ordre deux et <strong>des</strong> stratégies de<br />
splitting d’ordre plus élevé peuvent être considérées si nécessaire.<br />
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