Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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Résultats <strong>numériques</strong><br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
Dans ce chapitre, les métho<strong>des</strong> <strong>numériques</strong> détaillées précédemment dans ce manuscrit sont<br />
illustrées sur quelques cas-tests. On présente dans un premier temps <strong>des</strong> résultats en dimension<br />
un <strong>pour</strong> le schéma GRP espace-temps discrétisant l’équation d’advection. En particulier, on applique<br />
ce schéma aux équations de Maxwell linéarisées et au modèle d’ordonnées discrètes. Puis<br />
on compare le schéma GRP espace-temps discrétisant le modèle d’ordonnées discrètes S N à un<br />
modèle de diffusion sur un cas de rentrée atmosphérique. Dans un second temps, quelques résultats<br />
<strong>numériques</strong> en dimension deux sont proposés tout d’abord <strong>pour</strong> illustrer le comportement<br />
de la méthode GRP espace-temps <strong>pour</strong> l’équation d’advection, puis <strong>pour</strong> comparer la procédure<br />
numérique HLL cvp aux métho<strong>des</strong> Monte-Carlo <strong>pour</strong> le calcul de dose en radiothérapie.<br />
5.1 Résultats en dimension 1<br />
5.1.1 Schéma GRP espace-temps <strong>pour</strong> l’équation d’advection<br />
Équations de Maxwell linéarisées<br />
On utilise le schéma GRP espace-temps <strong>pour</strong> approcher le système <strong>des</strong> équations de Maxwell<br />
linéarisées :<br />
∂ t B z +∂ x E y = 0,<br />
∂ t E y +c 2 ∂ x B z = 0,<br />
oùcest la vitesse de la lumière,B z etE y sont respectivement les composanteszdu champ magnétique<br />
et y du champ électrique. En diagonalisant le système dans la base <strong>des</strong> vecteurs propres, on<br />
est ramené à un système de transport découplé et on peut donc appliquer la méthode GRP espacetemps<br />
<strong>pour</strong> ’approcher numériquement.<br />
Le cas-test consiste à envoyer un signal dans la partie gauche du domaine <strong>pour</strong> simuler un rayon<br />
laser :<br />
B z (x = 0,t) = 0.5exp ( −100(t−0.5) 2) sin(80(t−0.5)),<br />
E y (x = 0,t) = 0.<br />
À droite, on impose une condition de type Neumann homogène. On se donne <strong>pour</strong> donnée initiale<br />
B z (x,t = 0) = E y (x,t = 0) = 0. Finalement, on normalise la vitesse de la lumière : c = 1.<br />
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