Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

5
Résultats numériques
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Dans ce chapitre, les méthodes numériques détaillées précédemment dans ce manuscrit sont
illustrées sur quelques cas-tests. On présente dans un premier temps des résultats en dimension
un pour le schéma GRP espace-temps discrétisant l’équation d’advection. En particulier, on applique
ce schéma aux équations de Maxwell linéarisées et au modèle d’ordonnées discrètes. Puis
on compare le schéma GRP espace-temps discrétisant le modèle d’ordonnées discrètes S N à un
modèle de diffusion sur un cas de rentrée atmosphérique. Dans un second temps, quelques résultats
numériques en dimension deux sont proposés tout d’abord pour illustrer le comportement
de la méthode GRP espace-temps pour l’équation d’advection, puis pour comparer la procédure
numérique HLL cvp aux méthodes Monte-Carlo pour le calcul de dose en radiothérapie.
5.1 Résultats en dimension 1
5.1.1 Schéma GRP espace-temps pour l’équation d’advection
Équations de Maxwell linéarisées
On utilise le schéma GRP espace-temps pour approcher le système des équations de Maxwell
linéarisées :
∂ t B z +∂ x E y = 0,
∂ t E y +c 2 ∂ x B z = 0,
oùcest la vitesse de la lumière,B z etE y sont respectivement les composanteszdu champ magnétique
et y du champ électrique. En diagonalisant le système dans la base des vecteurs propres, on
est ramené à un système de transport découplé et on peut donc appliquer la méthode GRP espacetemps
pour ’approcher numériquement.
Le cas-test consiste à envoyer un signal dans la partie gauche du domaine pour simuler un rayon
laser :
B z (x = 0,t) = 0.5exp ( −100(t−0.5) 2) sin(80(t−0.5)),
E y (x = 0,t) = 0.
À droite, on impose une condition de type Neumann homogène. On se donne pour donnée initiale
B z (x,t = 0) = E y (x,t = 0) = 0. Finalement, on normalise la vitesse de la lumière : c = 1.
135