Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

4.2. Schémas numériques
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
FIGURE 4.6 – Cas sphérique : Ψ 0 donné par le code 1D avec un raffinement de maillage de 128 à
16384 cellules.
densité variable donnée par :
⎧
1 si 1 < r ≤ 2,
⎪⎨
0.25 si 2 < r ≤ 3,
ρ(r) =
0.1 si 3 < r ≤ 4,
⎪⎩
2 sinon.
Le but de ce cas-test est de valider la procédure de projections. Pour simplifier le modèle, le terme
source est supposé nul, soit T = 0. Puis le pouvoir d’arrêt est fixé à S = 1 et la fermeture du
modèle est donnée par Ψ 2 = 1 3 Ψ0 I d . L’un des intérêt de ce cas-test est de ramener le système à
un système en dimension un en considérant les coordonnées polaires. En effet, on a :
∂ ε (rΨ 0 )+∂ r (rΨ 1 ) = 0,
∂ ε (rΨ 1 )+∂ r ( rΨ0
3 ) = rΨ0
3r .
En utilisant les variables(rΨ 0 ,rΨ 1 ), on a un système en dimension un sans terme source. On peut
alors le discrétiser en utilisant la procédure 1D (4.34)˜Π-(4.35) Π et définir une solution de référence
pour comparer les résultats de la procédure en dimension deux. Cette simulation est très raide et un
grand nombre de points est nécessaire pour faire converger la solution comme le montre la figure
4.6. Cette approximation d’une solution sphérique est d’autant plus difficile pour la procédure en
2D qu’elle est basée sur un maillage cartésien et qu’elle comporte de nombreuses projections. Sur
la figure (4.7), on compare les résultats sur des maillages formés de 256 × 256 et 1024 × 1024
mailles. On remarque bien que la solution donnée par le schéma en dimension deux reste une
bonne approximation de la solution de référence. La méthode de projection en dimension deux
donne donc une bonne approximation de la solution. Dans le paragraphe 5.2, elle est testée sur des
cas-tests physiques de calculs de dose et comparée à d’autres méthodes.
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