Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...
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CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE<br />
Une fois que les projections sont déterminées, on peut mettre en place la procédure numérique<br />
qui permet de calculer la solution approchée U p i,j à l’énergie εp à partir de la solution approchée<br />
U p+1<br />
i,j<br />
à ε p+1 . Cette méthode se déroule en deux temps étant donné que chaque direction est considérée<br />
séparément.<br />
• Le premier pas consiste à faire évoluer la solution dans la direction x. Pour un indice j fixé,<br />
on calcule le vecteur(Ũp+1 2<br />
i,j<br />
) 1≤i≤imax grâce à la projection (4.47). Puis, on fait évoluer cette<br />
solution en utilisant le schéma HLL <strong>avec</strong> <strong>terme</strong> source défini par (4.34). Le schéma s’écrit :<br />
Ũ p+1 2<br />
i,j<br />
= Ũp+1 i,j<br />
− ∆˜ε<br />
∆˜x α x<br />
(<br />
)<br />
˜F p+1 p+1<br />
− ˜F<br />
i+ 1 ,j i− 1 2 2 ,j<br />
+2∆˜ε (1−α x) p+1 ˜Σ<br />
i,j<br />
2∆˜x ,<br />
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013<br />
où :<br />
et<br />
˜F p+1 = 1 (<br />
i+ 1 2 ,j 2<br />
F(Ũp+1 i,j +F(Ũp+1 i+1,j<br />
)− ) 1 (Ũp+1<br />
)<br />
i+1,j<br />
2<br />
−Ũp+1 i,j<br />
2<br />
α x =<br />
2+∆˜x ,<br />
˜Σ p+1<br />
i,j<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
0<br />
˜T p+1 (˜Ψ 1 x) p+1<br />
i,j<br />
˜T p+1 (˜Ψ 1 y) p+1<br />
i,j<br />
Finalement, on reprojette le vecteur(Ũp+1 2<br />
i,j<br />
) 1≤i≤imax grâce à l’opérateur (4.48) <strong>pour</strong> obtenir<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠.<br />
l’état intermédiaire (U p+1 2<br />
i,j<br />
) 1≤i≤imax <strong>pour</strong> tout 1 ≤ j ≤ jmax.<br />
• Le second pas consiste à faire évoluer l’état intermédiaire U p+1 2<br />
i,j<br />
dans la direction y. Pour<br />
chaque indice i, on définit le vecteur (Ũp+1 2<br />
i,j<br />
) 1≤j≤jmax grâce à l’opérateur de projection<br />
(4.49). Puis, on lui applique le schéma HLL <strong>pour</strong> calculer la solution àε p :<br />
où<br />
et<br />
˜G p+1 2<br />
i,j+ 1 2<br />
= 1 2<br />
Ũ p i,j = Ũp+1 2<br />
i,j<br />
(<br />
− ∆˜ε<br />
∆ỹ α x<br />
G(Ũp+1 2<br />
i,j +G(Ũp+1 2<br />
i,j+1 ) )− 1 2<br />
˜Σ p+1 2<br />
i,j<br />
=<br />
(<br />
˜G p+1 2<br />
− ˜G p+1 i,j+ 1 2<br />
i,j− 1 2 2<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
)<br />
( )<br />
Ũ p+1 2<br />
i,j+1 −Ũp+1 2<br />
i,j<br />
0<br />
˜T p+1 2(˜Ψ 1 x) p+1 2<br />
i,j<br />
˜T p+1 2(˜Ψ 1 y) p+1 2<br />
i,j<br />
+2∆˜ε (1−α x)<br />
˜Σ p+1 2<br />
i,j<br />
,<br />
2∆ỹ<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠ .<br />
et α y =<br />
2<br />
2+∆ỹ ,<br />
Finalement, on reprojette ce vecteur grâce à l’opérateur (4.50) <strong>pour</strong> obtenir la solution approchée<br />
U p i,j de (4.8) àεp .<br />
Test de validation<br />
Pour valider la procédure numérique en 2D, on considère un cas-test possédant une symétrie<br />
sphérique. On envoie un rayon d’électrons dans une sphère de rayon 1 cm dans un milieu de<br />
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