Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

CHAPITRE 4. ÉQUATIONS ET SCHÉMAS NUMÉRIQUES POUR LA RADIOTHÉRAPIE
Une fois que les projections sont déterminées, on peut mettre en place la procédure numérique
qui permet de calculer la solution approchée U p i,j à l’énergie εp à partir de la solution approchée
U p+1
i,j
à ε p+1 . Cette méthode se déroule en deux temps étant donné que chaque direction est considérée
séparément.
• Le premier pas consiste à faire évoluer la solution dans la direction x. Pour un indice j fixé,
on calcule le vecteur(Ũp+1 2
i,j
) 1≤i≤imax grâce à la projection (4.47). Puis, on fait évoluer cette
solution en utilisant le schéma HLL avec terme source défini par (4.34). Le schéma s’écrit :
Ũ p+1 2
i,j
= Ũp+1 i,j
− ∆˜ε
∆˜x α x
(
)
˜F p+1 p+1
− ˜F
i+ 1 ,j i− 1 2 2 ,j
+2∆˜ε (1−α x) p+1 ˜Σ
i,j
2∆˜x ,
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
où :
et
˜F p+1 = 1 (
i+ 1 2 ,j 2
F(Ũp+1 i,j +F(Ũp+1 i+1,j
)− ) 1 (Ũp+1
)
i+1,j
2
−Ũp+1 i,j
2
α x =
2+∆˜x ,
˜Σ p+1
i,j
=
⎛
⎜
⎝
0
˜T p+1 (˜Ψ 1 x) p+1
i,j
˜T p+1 (˜Ψ 1 y) p+1
i,j
Finalement, on reprojette le vecteur(Ũp+1 2
i,j
) 1≤i≤imax grâce à l’opérateur (4.48) pour obtenir
⎞
⎟
⎠.
l’état intermédiaire (U p+1 2
i,j
) 1≤i≤imax pour tout 1 ≤ j ≤ jmax.
• Le second pas consiste à faire évoluer l’état intermédiaire U p+1 2
i,j
dans la direction y. Pour
chaque indice i, on définit le vecteur (Ũp+1 2
i,j
) 1≤j≤jmax grâce à l’opérateur de projection
(4.49). Puis, on lui applique le schéma HLL pour calculer la solution àε p :
où
et
˜G p+1 2
i,j+ 1 2
= 1 2
Ũ p i,j = Ũp+1 2
i,j
(
− ∆˜ε
∆ỹ α x
G(Ũp+1 2
i,j +G(Ũp+1 2
i,j+1 ) )− 1 2
˜Σ p+1 2
i,j
=
(
˜G p+1 2
− ˜G p+1 i,j+ 1 2
i,j− 1 2 2
⎛
⎜
⎝
)
( )
Ũ p+1 2
i,j+1 −Ũp+1 2
i,j
0
˜T p+1 2(˜Ψ 1 x) p+1 2
i,j
˜T p+1 2(˜Ψ 1 y) p+1 2
i,j
+2∆˜ε (1−α x)
˜Σ p+1 2
i,j
,
2∆ỹ
⎞
⎟
⎠ .
et α y =
2
2+∆ỹ ,
Finalement, on reprojette ce vecteur grâce à l’opérateur (4.50) pour obtenir la solution approchée
U p i,j de (4.8) àεp .
Test de validation
Pour valider la procédure numérique en 2D, on considère un cas-test possédant une symétrie
sphérique. On envoie un rayon d’électrons dans une sphère de rayon 1 cm dans un milieu de
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