Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

4.2. Schémas numériques
puis, on considère le système dans la direction y :
∂ ε ρSU −∂ y G(U) = 0. (4.44)
Concernant le terme source, on utilise une extension en 2D du schéma (4.35).
Ainsi les deux systèmes (4.43)-(4.44) sont discrétisés par la procédure (4.34)˜Π-(4.35) Π définie
dans le paragraphe précédent. Une attention particulière sera apportée sur la densité qui dépend à
présent de x et dey.
Dans un premier temps, on définit les maillages nécessaires à l’extension en dimension deux.
On cherche les solutions sur le domaine Ω = [0;x M ] × [0;y M ] ⊂ R 2 . On considère le maillage
cartésien uniforme formé des nœuds (x i+
1,y 2 j+
1) pour 0 ≤ i ≤ imax et 0 ≤ j ≤ jmax. Les
2
nœuds sont définis par :
x i+
1
2
y j+
1
2
= i∆x avec ∆x = x M
imax ,
= j∆y avec ∆y = y M
jmax .
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Pour un j fixé, on en déduit le maillage pseudo-1D M = (M i ) 1≤i≤imax composé des cellules :
M i = [x i−
1;x 2 i+
1].
2
Ces mailles forment ainsi une partition de l’intervalle [0;x M ] : ⋃ imax
i=1 M i = [0;x M ]. De la même
manière, on définit N = (N j ) 1≤j≤jmax , le maillage en dimension un formé des cellules :
N j = [y j−
1;y 2 j+
1],
2
tel que ⋃ jmax
j=1 N j = [0;y M ].
Comme précédemment, les centres des maillesM i etN j sont notés x i et y j . Avec ces définitions,
le domaine Ω peut s’écrire de deux façons :
ou :
jmax imax
⋃ ⋃
(
j=1
i=1
imax jmax
⋃ ⋃
(
i=1
j=1
M i ×[y j−
1;y 2 j+
1]) = [0;x M ]×[0;y M ],
2
N j ×[x i−
1;x 2 i+
1]) = [0;x M ]×[0;y M ].
2
Puis, pour un indice j fixé, on considère le maillage 1D M × {y j } auquel on applique le
changement de variables suivant :
˜x(x,y j ) =
qui est directement tiré de (4.21). On pose alors :
∫ x
0
˜x j M = ˜x(x M,y j ),
ρ(t,y j ) dt, (4.45)
pour caractériser un maillage uniforme ˜M j discrétisant l’intervalle [0;˜x j M
]. On remarque que ce
maillage ˜M j coïncide exactement avec le maillage (4.27) si l’on fixe y j . Les cellules sont alors
définies par :
˜M j i = [˜xj ;˜x j ],
i− 1 i+ 1 2 2
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