Méthodes numériques pour des systèmes hyperboliques avec terme ...

4.2. Schémas numériques
FIGURE 4.3 – Solution du problème de Riemann pour le schéma HLL cv d’ordre un, le schéma
HLL cvp d’ordre un et le schéma HLL cvp d’ordre deux avec les limiteurs minmod et Van Leer.
tel-00814182, version 1 - 16 Apr 2013
Dans le tableau 4.1, on compare les erreursL 1 , L 2 etL ∞ de ces schémas pour différents maillages.
On remarque tout d’abord que le schéma d’ordre un avec projections donne approximativement
la même erreur que le schéma sans projection en considérant deux fois plus de cellules. C’est
pourquoi leurs ordres de convergence sont similaires. De plus, on voit que la correction MUSCL
sur le schémaHLL cvp permet d’obtenir des résultats légèrement meilleurs que le schémaHLL cv
d’ordre un. Cependant, à cause des étapes de projection, il n’améliore que sensiblement l’ordre de
convergence du schéma HLL cvp .
Cet exemple permet de valider l’approche HLL cvp pour l’étendre ensuite au cas bidimensionnel
dans le paragraphe suivant.
4.2.3 Méthode avec projections en dimension 2
Dans ce paragraphe, on propose une extension en dimension deux du schéma HLL cvp pour
approcher la solution du modèle (4.8). Pour alléger les notations, on écrit le modèle sous la forme
condensée :
∂ ε (ρSU)−∂ x F(U)−∂ y G(U) = Σ(U), (4.40)
où U = (Ψ 0 ,Ψ 1 x,Ψ 1 y) T est le vecteur des inconnues dans A 2 et les fluxF et G sont définis par :
⎛
Ψ 1 x
⎞
Ψ
F(U) = ⎜
0 1−χ + 3χ−1
2 2‖Ψ
⎝
1 ‖ 2(Ψ1 x) 2
Ψ 0 3χ−1
⎟
⎠ ,
2‖Ψ 1 ‖ 2Ψ1 y Ψ1 x
Le terme source Σ est donné par :
⎛
G(U) = ⎜
⎝
Ψ 1 x
Ψ 0 3χ−1
2‖Ψ 1 ‖ 2Ψ1 xΨ 1 y
+ 3χ−1
Ψ 0 1−χ
2
⎞
⎟
⎠ .
2‖Ψ 1 ‖ 2(Ψ1 y )2
(4.41)
Σ(U) = (0,ρTΨ 1 x,ρTΨ 1 y) T . (4.42)
Pour cette extension en 2D sur des maillages cartésiens, on va réaliser un splitting en direction. On
considère tout d’abord le système dans la direction x :
∂ ε ρSU −∂ x F(U) = 0, (4.43)
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